Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28827 / 20421
↖ ↑ ↗
← N 76.877657°
W100.824280°		 ← 69.34 m → N 76.877657°
W100.821533°		 →
↑
69.38 m
↓
↑
69.38 m
↓
N 76.877033°
W100.824280°		 ← 69.34 m →
4 811 m²		 N 76.877033°
W100.821533°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28827 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20421 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.219936370849609 y=0.155803680419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.219936370849609 × 217)
    floor (0.219936370849609 × 131072)
    floor (28827.5)     		tx = 28827
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155803680419922 × 217)
    floor (0.155803680419922 × 131072)
    floor (20421.5)     		ty = 20421
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28827 / 20421 ti = "17/28827/20421"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28827/20421.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28827 ÷ 217
    28827 ÷ 131072     		x = 0.219932556152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20421 ÷ 217
    20421 ÷ 131072     		y = 0.155799865722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.219932556152344 × 2 - 1) × π
    -0.560134887695312 × 3.1415926535     		Λ = -1.75971565
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155799865722656 × 2 - 1) × π
    0.688400268554688 × 3.1415926535     		Φ = 2.16267322635883
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75971565} λ = -1.75971565}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16267322635883))-π/2
    2×atan(8.69434858241762)-π/2
    2×1.45628228253511-π/2
    2.91256456507023-1.57079632675     		φ = 1.34176824
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75971565} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.824280°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34176824 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.877657°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28827 KachelY 20421 -1.75971565 1.34176824 -100.824280 76.877657
    Oben rechts KachelX + 1 28828 KachelY 20421 -1.75966771 1.34176824 -100.821533 76.877657
    Unten links KachelX 28827 KachelY + 1 20422 -1.75971565 1.34175735 -100.824280 76.877033
    Unten rechts KachelX + 1 28828 KachelY + 1 20422 -1.75966771 1.34175735 -100.821533 76.877033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34176824-1.34175735) × R
    1.08899999999856e-05 × 6371000     		dl = 69.3801899999085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34176824-1.34175735) × R
    1.08899999999856e-05 × 6371000     		dr = 69.3801899999085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75971565--1.75966771) × cos(1.34176824) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.227031096781984 × 6371000     		do = 69.3411407376038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75971565--1.75966771) × cos(1.34175735) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.2270417024035 × 6371000     		du = 69.3443799674034m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34176824)-sin(1.34175735))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227031096781984-0.2270417024035)×R²
    abs(-1.75966771--1.75971565)×1.06056215158357e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.06056215158357e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.06056215158357e-05×40589641000000     		ar = 4811.01388827187m²