Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28826 / 42576
↖ ↑ ↗
← S 47.338823°
W 21.654053°		 ← 413.95 m → S 47.338823°
W 21.648559°		 →
↑
413.92 m
↓
↑
413.92 m
↓
S 47.342545°
W 21.654053°		 ← 413.92 m →
171 338 m²		 S 47.342545°
W 21.648559°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28826 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42576 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439857482910156 y=0.649665832519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439857482910156 × 216)
    floor (0.439857482910156 × 65536)
    floor (28826.5)     		tx = 28826
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649665832519531 × 216)
    floor (0.649665832519531 × 65536)
    floor (42576.5)     		ty = 42576
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28826 / 42576 ti = "16/28826/42576"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28826/42576.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28826 ÷ 216
    28826 ÷ 65536     		x = 0.439849853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42576 ÷ 216
    42576 ÷ 65536     		y = 0.649658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439849853515625 × 2 - 1) × π
    -0.12030029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37793452
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649658203125 × 2 - 1) × π
    -0.29931640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.940330222947022
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37793452} λ = -0.37793452}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.940330222947022))-π/2
    2×atan(0.390498862379631)-π/2
    2×0.372289003385326-π/2
    0.744578006770651-1.57079632675     		φ = -0.82621832
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37793452} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.654053°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82621832 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.338823°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28826 KachelY 42576 -0.37793452 -0.82621832 -21.654053 -47.338823
    Oben rechts KachelX + 1 28827 KachelY 42576 -0.37783864 -0.82621832 -21.648559 -47.338823
    Unten links KachelX 28826 KachelY + 1 42577 -0.37793452 -0.82628329 -21.654053 -47.342545
    Unten rechts KachelX + 1 28827 KachelY + 1 42577 -0.37783864 -0.82628329 -21.648559 -47.342545
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82621832--0.82628329) × R
    6.4970000000053e-05 × 6371000     		dl = 413.923870000338m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82621832--0.82628329) × R
    6.4970000000053e-05 × 6371000     		dr = 413.923870000338m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37793452--0.37783864) × cos(-0.82621832) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.677661547998942 × 6371000     		do = 413.950559534213m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37793452--0.37783864) × cos(-0.82628329) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.677613769324087 × 6371000     		du = 413.921373859966m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82621832)-sin(-0.82628329))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.677661547998942-0.677613769324087)×R²
    abs(-0.37783864--0.37793452)×4.77786748545039e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.77786748545039e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.77786748545039e-05×40589641000000     		ar = 171337.977328024m²