Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28825 / 42851
↖ ↑ ↗
← S 48.352599°
W 21.659546°		 ← 405.90 m → S 48.352599°
W 21.654053°		 →
↑
405.90 m
↓
↑
405.90 m
↓
S 48.356249°
W 21.659546°		 ← 405.87 m →
164 746 m²		 S 48.356249°
W 21.654053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28825 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42851 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439842224121094 y=0.653861999511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439842224121094 × 216)
    floor (0.439842224121094 × 65536)
    floor (28825.5)     		tx = 28825
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653861999511719 × 216)
    floor (0.653861999511719 × 65536)
    floor (42851.5)     		ty = 42851
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28825 / 42851 ti = "16/28825/42851"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28825/42851.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28825 ÷ 216
    28825 ÷ 65536     		x = 0.439834594726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42851 ÷ 216
    42851 ÷ 65536     		y = 0.653854370117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439834594726562 × 2 - 1) × π
    -0.120330810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37803039
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653854370117188 × 2 - 1) × π
    -0.307708740234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.966695517738052
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37803039} λ = -0.37803039}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.966695517738052))-π/2
    2×atan(0.380337783278427)-π/2
    2×0.363442138735571-π/2
    0.726884277471143-1.57079632675     		φ = -0.84391205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37803039} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.659546°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84391205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.352599°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28825 KachelY 42851 -0.37803039 -0.84391205 -21.659546 -48.352599
    Oben rechts KachelX + 1 28826 KachelY 42851 -0.37793452 -0.84391205 -21.654053 -48.352599
    Unten links KachelX 28825 KachelY + 1 42852 -0.37803039 -0.84397576 -21.659546 -48.356249
    Unten rechts KachelX + 1 28826 KachelY + 1 42852 -0.37793452 -0.84397576 -21.654053 -48.356249
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84391205--0.84397576) × R
    6.37099999999391e-05 × 6371000     		dl = 405.896409999612m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84391205--0.84397576) × R
    6.37099999999391e-05 × 6371000     		dr = 405.896409999612m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37803039--0.37793452) × cos(-0.84391205) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.664544644690034 × 6371000     		do = 405.895741595659m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37803039--0.37793452) × cos(-0.84397576) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.664497036135423 × 6371000     		du = 405.866662872756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84391205)-sin(-0.84397576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664544644690034-0.664497036135423)×R²
    abs(-0.37793452--0.37803039)×4.76085546110561e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76085546110561e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76085546110561e-05×40589641000000     		ar = 164745.722928971m²