Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28824 / 42852
↖ ↑ ↗
← S 48.356249°
W 21.665039°		 ← 405.87 m → S 48.356249°
W 21.659546°		 →
↑
405.83 m
↓
↑
405.83 m
↓
S 48.359899°
W 21.665039°		 ← 405.84 m →
164 708 m²		 S 48.359899°
W 21.659546°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28824 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42852 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439826965332031 y=0.653877258300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439826965332031 × 216)
    floor (0.439826965332031 × 65536)
    floor (28824.5)     		tx = 28824
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653877258300781 × 216)
    floor (0.653877258300781 × 65536)
    floor (42852.5)     		ty = 42852
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28824 / 42852 ti = "16/28824/42852"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28824/42852.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28824 ÷ 216
    28824 ÷ 65536     		x = 0.4398193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42852 ÷ 216
    42852 ÷ 65536     		y = 0.65386962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4398193359375 × 2 - 1) × π
    -0.120361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.37812626
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65386962890625 × 2 - 1) × π
    -0.3077392578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.966791391537293
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37812626} λ = -0.37812626}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.966791391537293))-π/2
    2×atan(0.380301320598086)-π/2
    2×0.36341028366673-π/2
    0.72682056733346-1.57079632675     		φ = -0.84397576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37812626} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.665039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84397576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.356249°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28824 KachelY 42852 -0.37812626 -0.84397576 -21.665039 -48.356249
    Oben rechts KachelX + 1 28825 KachelY 42852 -0.37803039 -0.84397576 -21.659546 -48.356249
    Unten links KachelX 28824 KachelY + 1 42853 -0.37812626 -0.84403946 -21.665039 -48.359899
    Unten rechts KachelX + 1 28825 KachelY + 1 42853 -0.37803039 -0.84403946 -21.659546 -48.359899
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84397576--0.84403946) × R
    6.36999999999999e-05 × 6371000     		dl = 405.832699999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84397576--0.84403946) × R
    6.36999999999999e-05 × 6371000     		dr = 405.832699999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37812626--0.37803039) × cos(-0.84397576) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.664497036135423 × 6371000     		do = 405.866662872756m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37812626--0.37803039) × cos(-0.84403946) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.664449432356975 × 6371000     		du = 405.837587067073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84397576)-sin(-0.84403946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664497036135423-0.664449432356975)×R²
    abs(-0.37803039--0.37812626)×4.76037784483685e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76037784483685e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76037784483685e-05×40589641000000     		ar = 164708.063733025m²