Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28821 / 20347
↖ ↑ ↗
← N 76.923721°
W100.840759°		 ← 69.10 m → N 76.923721°
W100.838013°		 →
↑
69.06 m
↓
↑
69.06 m
↓
N 76.923100°
W100.840759°		 ← 69.11 m →
4 772 m²		 N 76.923100°
W100.838013°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28821 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20347 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.219890594482422 y=0.155239105224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.219890594482422 × 217)
    floor (0.219890594482422 × 131072)
    floor (28821.5)     		tx = 28821
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155239105224609 × 217)
    floor (0.155239105224609 × 131072)
    floor (20347.5)     		ty = 20347
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28821 / 20347 ti = "17/28821/20347"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28821/20347.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28821 ÷ 217
    28821 ÷ 131072     		x = 0.219886779785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20347 ÷ 217
    20347 ÷ 131072     		y = 0.155235290527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.219886779785156 × 2 - 1) × π
    -0.560226440429688 × 3.1415926535     		Λ = -1.76000327
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155235290527344 × 2 - 1) × π
    0.689529418945312 × 3.1415926535     		Φ = 2.16622055693072
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76000327} λ = -1.76000327}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16622055693072))-π/2
    2×atan(8.7252450785904)-π/2
    2×1.45668426490563-π/2
    2.91336852981126-1.57079632675     		φ = 1.34257220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76000327} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.840759°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34257220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.923721°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28821 KachelY 20347 -1.76000327 1.34257220 -100.840759 76.923721
    Oben rechts KachelX + 1 28822 KachelY 20347 -1.75995533 1.34257220 -100.838013 76.923721
    Unten links KachelX 28821 KachelY + 1 20348 -1.76000327 1.34256136 -100.840759 76.923100
    Unten rechts KachelX + 1 28822 KachelY + 1 20348 -1.75995533 1.34256136 -100.838013 76.923100
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34257220-1.34256136) × R
    1.08400000000675e-05 × 6371000     		dl = 69.0616400004298m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34257220-1.34256136) × R
    1.08400000000675e-05 × 6371000     		dr = 69.0616400004298m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76000327--1.75995533) × cos(1.34257220) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.226248056893258 × 6371000     		do = 69.10198020014m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76000327--1.75995533) × cos(1.34256136) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.226258615795715 × 6371000     		du = 69.1052051607366m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34257220)-sin(1.34256136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226248056893258-0.226258615795715)×R²
    abs(-1.75995533--1.76000327)×1.05589024571029e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.05589024571029e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.05589024571029e-05×40589641000000     		ar = 4772.40744054324m²