Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28821 / 19129
↖ ↑ ↗
← N 59.731485°
W 21.681519°		 ← 307.90 m → N 59.731485°
W 21.676025°		 →
↑
307.91 m
↓
↑
307.91 m
↓
N 59.728716°
W 21.681519°		 ← 307.93 m →
94 810 m²		 N 59.728716°
W 21.676025°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28821 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19129 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439781188964844 y=0.291893005371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439781188964844 × 216)
    floor (0.439781188964844 × 65536)
    floor (28821.5)     		tx = 28821
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291893005371094 × 216)
    floor (0.291893005371094 × 65536)
    floor (19129.5)     		ty = 19129
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28821 / 19129 ti = "16/28821/19129"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28821/19129.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28821 ÷ 216
    28821 ÷ 65536     		x = 0.439773559570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19129 ÷ 216
    19129 ÷ 65536     		y = 0.291885375976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439773559570312 × 2 - 1) × π
    -0.120452880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.37841389
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.291885375976562 × 2 - 1) × π
    0.416229248046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.30762274783589
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37841389} λ = -0.37841389}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30762274783589))-π/2
    2×atan(3.69737366684006)-π/2
    2×1.30665370108608-π/2
    2.61330740217217-1.57079632675     		φ = 1.04251108
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37841389} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.681519°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04251108 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.731485°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28821 KachelY 19129 -0.37841389 1.04251108 -21.681519 59.731485
    Oben rechts KachelX + 1 28822 KachelY 19129 -0.37831801 1.04251108 -21.676025 59.731485
    Unten links KachelX 28821 KachelY + 1 19130 -0.37841389 1.04246275 -21.681519 59.728716
    Unten rechts KachelX + 1 28822 KachelY + 1 19130 -0.37831801 1.04246275 -21.676025 59.728716
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04251108-1.04246275) × R
    4.83299999998188e-05 × 6371000     		dl = 307.910429998846m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04251108-1.04246275) × R
    4.83299999998188e-05 × 6371000     		dr = 307.910429998846m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37841389--0.37831801) × cos(1.04251108) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.504053097510829 × 6371000     		do = 307.901580613051m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37841389--0.37831801) × cos(1.04246275) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.504094838222105 × 6371000     		du = 307.92707798831m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04251108)-sin(1.04246275))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.504053097510829-0.504094838222105)×R²
    abs(-0.37831801--0.37841389)×4.17407112756063e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.17407112756063e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.17407112756063e-05×40589641000000     		ar = 94810.0335562819m²