Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28820 / 43338
↖ ↑ ↗
← S 50.099441°
W 21.687012°		 ← 391.79 m → S 50.099441°
W 21.681519°		 →
↑
391.82 m
↓
↑
391.82 m
↓
S 50.102965°
W 21.687012°		 ← 391.77 m →
153 506 m²		 S 50.102965°
W 21.681519°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28820 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43338 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439765930175781 y=0.661293029785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439765930175781 × 216)
    floor (0.439765930175781 × 65536)
    floor (28820.5)     		tx = 28820
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661293029785156 × 216)
    floor (0.661293029785156 × 65536)
    floor (43338.5)     		ty = 43338
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28820 / 43338 ti = "16/28820/43338"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28820/43338.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28820 ÷ 216
    28820 ÷ 65536     		x = 0.43975830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43338 ÷ 216
    43338 ÷ 65536     		y = 0.661285400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43975830078125 × 2 - 1) × π
    -0.1204833984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.37850976
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.661285400390625 × 2 - 1) × π
    -0.32257080078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.01338605796799
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37850976} λ = -0.37850976}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01338605796799))-π/2
    2×atan(0.362987798595061)-π/2
    2×0.348198064085323-π/2
    0.696396128170646-1.57079632675     		φ = -0.87440020
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37850976} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.687012°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87440020 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.099441°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28820 KachelY 43338 -0.37850976 -0.87440020 -21.687012 -50.099441
    Oben rechts KachelX + 1 28821 KachelY 43338 -0.37841389 -0.87440020 -21.681519 -50.099441
    Unten links KachelX 28820 KachelY + 1 43339 -0.37850976 -0.87446170 -21.687012 -50.102965
    Unten rechts KachelX + 1 28821 KachelY + 1 43339 -0.37841389 -0.87446170 -21.681519 -50.102965
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87440020--0.87446170) × R
    6.15000000000476e-05 × 6371000     		dl = 391.816500000303m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87440020--0.87446170) × R
    6.15000000000476e-05 × 6371000     		dr = 391.816500000303m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37850976--0.37841389) × cos(-0.87440020) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.641457115425838 × 6371000     		do = 391.794161081572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37850976--0.37841389) × cos(-0.87446170) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.641409933940794 × 6371000     		du = 391.765343207536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87440020)-sin(-0.87446170))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641457115425838-0.641409933940794)×R²
    abs(-0.37841389--0.37850976)×4.71814850439012e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71814850439012e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71814850439012e-05×40589641000000     		ar = 153505.771305031m²