Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28820 / 42149
↖ ↑ ↗
← S 45.725356°
W 21.687012°		 ← 426.39 m → S 45.725356°
W 21.681519°		 →
↑
426.41 m
↓
↑
426.41 m
↓
S 45.729191°
W 21.687012°		 ← 426.36 m →
181 811 m²		 S 45.729191°
W 21.681519°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28820 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42149 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439765930175781 y=0.643150329589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439765930175781 × 216)
    floor (0.439765930175781 × 65536)
    floor (28820.5)     		tx = 28820
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643150329589844 × 216)
    floor (0.643150329589844 × 65536)
    floor (42149.5)     		ty = 42149
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28820 / 42149 ti = "16/28820/42149"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28820/42149.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28820 ÷ 216
    28820 ÷ 65536     		x = 0.43975830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42149 ÷ 216
    42149 ÷ 65536     		y = 0.643142700195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43975830078125 × 2 - 1) × π
    -0.1204833984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.37850976
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643142700195312 × 2 - 1) × π
    -0.286285400390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.899392110671493
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37850976} λ = -0.37850976}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.899392110671493))-π/2
    2×atan(0.406816884233002)-π/2
    2×0.386369152788198-π/2
    0.772738305576397-1.57079632675     		φ = -0.79805802
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37850976} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.687012°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79805802 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.725356°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28820 KachelY 42149 -0.37850976 -0.79805802 -21.687012 -45.725356
    Oben rechts KachelX + 1 28821 KachelY 42149 -0.37841389 -0.79805802 -21.681519 -45.725356
    Unten links KachelX 28820 KachelY + 1 42150 -0.37850976 -0.79812495 -21.687012 -45.729191
    Unten rechts KachelX + 1 28821 KachelY + 1 42150 -0.37841389 -0.79812495 -21.681519 -45.729191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79805802--0.79812495) × R
    6.69300000000206e-05 × 6371000     		dl = 426.411030000131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79805802--0.79812495) × R
    6.69300000000206e-05 × 6371000     		dr = 426.411030000131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37850976--0.37841389) × cos(-0.79805802) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.698098485913118 × 6371000     		do = 426.39001745124m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37850976--0.37841389) × cos(-0.79812495) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.698050562352512 × 6371000     		du = 426.360746326527m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79805802)-sin(-0.79812495))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.698098485913118-0.698050562352512)×R²
    abs(-0.37841389--0.37850976)×4.79235606062334e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79235606062334e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79235606062334e-05×40589641000000     		ar = 181811.165825849m²