Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28819 / 42195
↖ ↑ ↗
← S 45.901477°
W 21.692505°		 ← 425.04 m → S 45.901477°
W 21.687012°		 →
↑
425.07 m
↓
↑
425.07 m
↓
S 45.905300°
W 21.692505°		 ← 425.01 m →
180 668 m²		 S 45.905300°
W 21.687012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28819 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42195 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439750671386719 y=0.643852233886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439750671386719 × 216)
    floor (0.439750671386719 × 65536)
    floor (28819.5)     		tx = 28819
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643852233886719 × 216)
    floor (0.643852233886719 × 65536)
    floor (42195.5)     		ty = 42195
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28819 / 42195 ti = "16/28819/42195"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28819/42195.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28819 ÷ 216
    28819 ÷ 65536     		x = 0.439743041992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42195 ÷ 216
    42195 ÷ 65536     		y = 0.643844604492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439743041992188 × 2 - 1) × π
    -0.120513916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.37860563
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643844604492188 × 2 - 1) × π
    -0.287689208984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.903802305436539
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37860563} λ = -0.37860563}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.903802305436539))-π/2
    2×atan(0.405026692987429)-π/2
    2×0.384832207960153-π/2
    0.769664415920306-1.57079632675     		φ = -0.80113191
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37860563} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.692505°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80113191 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.901477°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28819 KachelY 42195 -0.37860563 -0.80113191 -21.692505 -45.901477
    Oben rechts KachelX + 1 28820 KachelY 42195 -0.37850976 -0.80113191 -21.687012 -45.901477
    Unten links KachelX 28819 KachelY + 1 42196 -0.37860563 -0.80119863 -21.692505 -45.905300
    Unten rechts KachelX + 1 28820 KachelY + 1 42196 -0.37850976 -0.80119863 -21.687012 -45.905300
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80113191--0.80119863) × R
    6.67200000000756e-05 × 6371000     		dl = 425.073120000482m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80113191--0.80119863) × R
    6.67200000000756e-05 × 6371000     		dr = 425.073120000482m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37860563--0.37850976) × cos(-0.80113191) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.69589428067038 × 6371000     		do = 425.043715846652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37860563--0.37850976) × cos(-0.80119863) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.695846364537783 × 6371000     		du = 425.014449258877m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80113191)-sin(-0.80119863))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.69589428067038-0.695846364537783)×R²
    abs(-0.37850976--0.37860563)×4.79161325961375e-05×R²
    9.58700000000534e-05×4.79161325961375e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×4.79161325961375e-05×40589641000000     		ar = 180668.438278786m²