Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28819 / 20645
↖ ↑ ↗
← N 76.737247°
W100.846252°		 ← 70.06 m → N 76.737247°
W100.843506°		 →
↑
70.08 m
↓
↑
70.08 m
↓
N 76.736617°
W100.846252°		 ← 70.06 m →
4 910 m²		 N 76.736617°
W100.843506°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28819 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20645 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.219875335693359 y=0.157512664794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.219875335693359 × 217)
    floor (0.219875335693359 × 131072)
    floor (28819.5)     		tx = 28819
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157512664794922 × 217)
    floor (0.157512664794922 × 131072)
    floor (20645.5)     		ty = 20645
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28819 / 20645 ti = "17/28819/20645"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28819/20645.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28819 ÷ 217
    28819 ÷ 131072     		x = 0.219871520996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20645 ÷ 217
    20645 ÷ 131072     		y = 0.157508850097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.219871520996094 × 2 - 1) × π
    -0.560256958007812 × 3.1415926535     		Λ = -1.76009914
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.157508850097656 × 2 - 1) × π
    0.684982299804688 × 3.1415926535     		Φ = 2.15193536084394
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76009914} λ = -1.76009914}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15193536084394))-π/2
    2×atan(8.60148928416322)-π/2
    2×1.45505697339831-π/2
    2.91011394679662-1.57079632675     		φ = 1.33931762
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76009914} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.846252°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33931762 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.737247°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28819 KachelY 20645 -1.76009914 1.33931762 -100.846252 76.737247
    Oben rechts KachelX + 1 28820 KachelY 20645 -1.76005121 1.33931762 -100.843506 76.737247
    Unten links KachelX 28819 KachelY + 1 20646 -1.76009914 1.33930662 -100.846252 76.736617
    Unten rechts KachelX + 1 28820 KachelY + 1 20646 -1.76005121 1.33930662 -100.843506 76.736617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33931762-1.33930662) × R
    1.10000000002053e-05 × 6371000     		dl = 70.0810000013079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33931762-1.33930662) × R
    1.10000000002053e-05 × 6371000     		dr = 70.0810000013079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76009914--1.76005121) × cos(1.33931762) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.22941704087996 × 6371000     		do = 70.0552533194158m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76009914--1.76005121) × cos(1.33930662) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.229427747476486 × 6371000     		du = 70.0585227074654m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33931762)-sin(1.33930662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22941704087996-0.229427747476486)×R²
    abs(-1.76005121--1.76009914)×1.07065965261333e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.07065965261333e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.07065965261333e-05×40589641000000     		ar = 4909.65676919547m²