Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28819 / 20411
↖ ↑ ↗
← N 76.883891°
W100.846252°		 ← 69.29 m → N 76.883891°
W100.843506°		 →
↑
69.25 m
↓
↑
69.25 m
↓
N 76.883268°
W100.846252°		 ← 69.30 m →
4 799 m²		 N 76.883268°
W100.843506°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28819 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20411 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.219875335693359 y=0.155727386474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.219875335693359 × 217)
    floor (0.219875335693359 × 131072)
    floor (28819.5)     		tx = 28819
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155727386474609 × 217)
    floor (0.155727386474609 × 131072)
    floor (20411.5)     		ty = 20411
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28819 / 20411 ti = "17/28819/20411"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28819/20411.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28819 ÷ 217
    28819 ÷ 131072     		x = 0.219871520996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20411 ÷ 217
    20411 ÷ 131072     		y = 0.155723571777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.219871520996094 × 2 - 1) × π
    -0.560256958007812 × 3.1415926535     		Λ = -1.76009914
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155723571777344 × 2 - 1) × π
    0.688552856445312 × 3.1415926535     		Φ = 2.16315259535503
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76009914} λ = -1.76009914}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16315259535503))-π/2
    2×atan(8.69851738268716)-π/2
    2×1.45633668566981-π/2
    2.91267337133963-1.57079632675     		φ = 1.34187704
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76009914} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.846252°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34187704 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.883891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28819 KachelY 20411 -1.76009914 1.34187704 -100.846252 76.883891
    Oben rechts KachelX + 1 28820 KachelY 20411 -1.76005121 1.34187704 -100.843506 76.883891
    Unten links KachelX 28819 KachelY + 1 20412 -1.76009914 1.34186617 -100.846252 76.883268
    Unten rechts KachelX + 1 28820 KachelY + 1 20412 -1.76005121 1.34186617 -100.843506 76.883268
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34187704-1.34186617) × R
    1.08699999998851e-05 × 6371000     		dl = 69.2527699992682m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34187704-1.34186617) × R
    1.08699999998851e-05 × 6371000     		dr = 69.2527699992682m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76009914--1.76005121) × cos(1.34187704) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.22692513647743 × 6371000     		do = 69.2943203324965m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76009914--1.76005121) × cos(1.34186617) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.226935722889688 × 6371000     		du = 69.2975530208341m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34187704)-sin(1.34186617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22692513647743-0.226935722889688)×R²
    abs(-1.76005121--1.76009914)×1.05864122582344e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.05864122582344e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.05864122582344e-05×40589641000000     		ar = 4798.93556466073m²