Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28817 / 20338
↖ ↑ ↗
← N 76.929312°
W100.851746°		 ← 69.07 m → N 76.929312°
W100.848999°		 →
↑
69.06 m
↓
↑
69.06 m
↓
N 76.928691°
W100.851746°		 ← 69.08 m →
4 770 m²		 N 76.928691°
W100.848999°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28817 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20338 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.219860076904297 y=0.155170440673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.219860076904297 × 217)
    floor (0.219860076904297 × 131072)
    floor (28817.5)     		tx = 28817
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155170440673828 × 217)
    floor (0.155170440673828 × 131072)
    floor (20338.5)     		ty = 20338
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28817 / 20338 ti = "17/28817/20338"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28817/20338.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28817 ÷ 217
    28817 ÷ 131072     		x = 0.219856262207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20338 ÷ 217
    20338 ÷ 131072     		y = 0.155166625976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.219856262207031 × 2 - 1) × π
    -0.560287475585938 × 3.1415926535     		Λ = -1.76019502
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155166625976562 × 2 - 1) × π
    0.689666748046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.1666519890273
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76019502} λ = -1.76019502}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1666519890273))-π/2
    2×atan(8.7290102415155)-π/2
    2×1.45673305998802-π/2
    2.91346611997604-1.57079632675     		φ = 1.34266979
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76019502} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.851746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34266979 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.929312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28817 KachelY 20338 -1.76019502 1.34266979 -100.851746 76.929312
    Oben rechts KachelX + 1 28818 KachelY 20338 -1.76014708 1.34266979 -100.848999 76.929312
    Unten links KachelX 28817 KachelY + 1 20339 -1.76019502 1.34265895 -100.851746 76.928691
    Unten rechts KachelX + 1 28818 KachelY + 1 20339 -1.76014708 1.34265895 -100.848999 76.928691
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34266979-1.34265895) × R
    1.08400000000675e-05 × 6371000     		dl = 69.0616400004298m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34266979-1.34265895) × R
    1.08400000000675e-05 × 6371000     		dr = 69.0616400004298m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76019502--1.76014708) × cos(1.34266979) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.226152996352196 × 6371000     		do = 69.0729462640415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76019502--1.76014708) × cos(1.34265895) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.226163555493951 × 6371000     		du = 69.0761712977257m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34266979)-sin(1.34265895))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226152996352196-0.226163555493951)×R²
    abs(-1.76014708--1.76019502)×1.05591417547124e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.05591417547124e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.05591417547124e-05×40589641000000     		ar = 4770.4023118721m²