Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28816 / 43439
↖ ↑ ↗
← S 50.454007°
W 21.708984°		 ← 388.89 m → S 50.454007°
W 21.703491°		 →
↑
388.89 m
↓
↑
388.89 m
↓
S 50.457504°
W 21.708984°		 ← 388.86 m →
151 227 m²		 S 50.457504°
W 21.703491°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43439 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439704895019531 y=0.662834167480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439704895019531 × 216)
    floor (0.439704895019531 × 65536)
    floor (28816.5)     		tx = 28816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662834167480469 × 216)
    floor (0.662834167480469 × 65536)
    floor (43439.5)     		ty = 43439
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28816 / 43439 ti = "16/28816/43439"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28816/43439.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28816 ÷ 216
    28816 ÷ 65536     		x = 0.439697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43439 ÷ 216
    43439 ÷ 65536     		y = 0.662826538085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439697265625 × 2 - 1) × π
    -0.12060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37889325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.662826538085938 × 2 - 1) × π
    -0.325653076171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.02306931169124
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37889325} λ = -0.37889325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02306931169124))-π/2
    2×atan(0.359489858694705)-π/2
    2×0.345103894831816-π/2
    0.690207789663632-1.57079632675     		φ = -0.88058854
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37889325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.708984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88058854 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.454007°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28816 KachelY 43439 -0.37889325 -0.88058854 -21.708984 -50.454007
    Oben rechts KachelX + 1 28817 KachelY 43439 -0.37879738 -0.88058854 -21.703491 -50.454007
    Unten links KachelX 28816 KachelY + 1 43440 -0.37889325 -0.88064958 -21.708984 -50.457504
    Unten rechts KachelX + 1 28817 KachelY + 1 43440 -0.37879738 -0.88064958 -21.703491 -50.457504
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88058854--0.88064958) × R
    6.10400000000677e-05 × 6371000     		dl = 388.885840000431m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88058854--0.88064958) × R
    6.10400000000677e-05 × 6371000     		dr = 388.885840000431m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37889325--0.37879738) × cos(-0.88058854) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.636697423216989 × 6371000     		do = 388.886999291443m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37889325--0.37879738) × cos(-0.88064958) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.636650353248546 × 6371000     		du = 388.858249530383m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88058854)-sin(-0.88064958))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.636697423216989-0.636650353248546)×R²
    abs(-0.37879738--0.37889325)×4.70699684438358e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.70699684438358e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.70699684438358e-05×40589641000000     		ar = 151227.057244279m²