Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28816 / 37013
↖ ↑ ↗
← N 61.411180°
W100.854492°		 ← 146.12 m → N 61.411180°
W100.851746°		 →
↑
146.15 m
↓
↑
146.15 m
↓
N 61.409865°
W100.854492°		 ← 146.13 m →
21 356 m²		 N 61.409865°
W100.851746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37013 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.219852447509766 y=0.282390594482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.219852447509766 × 217)
    floor (0.219852447509766 × 131072)
    floor (28816.5)     		tx = 28816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.282390594482422 × 217)
    floor (0.282390594482422 × 131072)
    floor (37013.5)     		ty = 37013
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28816 / 37013 ti = "17/28816/37013"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28816/37013.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28816 ÷ 217
    28816 ÷ 131072     		x = 0.2198486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37013 ÷ 217
    37013 ÷ 131072     		y = 0.282386779785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2198486328125 × 2 - 1) × π
    -0.560302734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.76024295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.282386779785156 × 2 - 1) × π
    0.435226440429688 × 3.1415926535     		Φ = 1.36730418786286
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76024295} λ = -1.76024295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.36730418786286))-π/2
    2×atan(3.92475601635032)-π/2
    2×1.321311803078-π/2
    2.642623606156-1.57079632675     		φ = 1.07182728
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76024295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.854492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07182728 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.411180°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28816 KachelY 37013 -1.76024295 1.07182728 -100.854492 61.411180
    Oben rechts KachelX + 1 28817 KachelY 37013 -1.76019502 1.07182728 -100.851746 61.411180
    Unten links KachelX 28816 KachelY + 1 37014 -1.76024295 1.07180434 -100.854492 61.409865
    Unten rechts KachelX + 1 28817 KachelY + 1 37014 -1.76019502 1.07180434 -100.851746 61.409865
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07182728-1.07180434) × R
    2.29400000000268e-05 × 6371000     		dl = 146.150740000171m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07182728-1.07180434) × R
    2.29400000000268e-05 × 6371000     		dr = 146.150740000171m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76024295--1.76019502) × cos(1.07182728) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.478520537427377 × 6371000     		do = 146.122002705604m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76024295--1.76019502) × cos(1.07180434) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.478540680373181 × 6371000     		du = 146.128153596425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07182728)-sin(1.07180434))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.478520537427377-0.478540680373181)×R²
    abs(-1.76019502--1.76024295)×2.0142945804047e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.0142945804047e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.0142945804047e-05×40589641000000     		ar = 21356.2883051737m²