Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28816 / 19123
↖ ↑ ↗
← N 59.748094°
W 21.708984°		 ← 307.72 m → N 59.748094°
W 21.703491°		 →
↑
307.78 m
↓
↑
307.78 m
↓
N 59.745326°
W 21.708984°		 ← 307.74 m →
94 714 m²		 N 59.745326°
W 21.703491°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19123 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439704895019531 y=0.291801452636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439704895019531 × 216)
    floor (0.439704895019531 × 65536)
    floor (28816.5)     		tx = 28816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291801452636719 × 216)
    floor (0.291801452636719 × 65536)
    floor (19123.5)     		ty = 19123
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28816 / 19123 ti = "16/28816/19123"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28816/19123.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28816 ÷ 216
    28816 ÷ 65536     		x = 0.439697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19123 ÷ 216
    19123 ÷ 65536     		y = 0.291793823242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439697265625 × 2 - 1) × π
    -0.12060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37889325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.291793823242188 × 2 - 1) × π
    0.416412353515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.30819799063133
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37889325} λ = -0.37889325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30819799063133))-π/2
    2×atan(3.69950116625966)-π/2
    2×1.30679864153389-π/2
    2.61359728306777-1.57079632675     		φ = 1.04280096
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37889325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.708984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04280096 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.748094°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28816 KachelY 19123 -0.37889325 1.04280096 -21.708984 59.748094
    Oben rechts KachelX + 1 28817 KachelY 19123 -0.37879738 1.04280096 -21.703491 59.748094
    Unten links KachelX 28816 KachelY + 1 19124 -0.37889325 1.04275265 -21.708984 59.745326
    Unten rechts KachelX + 1 28817 KachelY + 1 19124 -0.37879738 1.04275265 -21.703491 59.745326
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04280096-1.04275265) × R
    4.83100000001624e-05 × 6371000     		dl = 307.783010001035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04280096-1.04275265) × R
    4.83100000001624e-05 × 6371000     		dr = 307.783010001035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37889325--0.37879738) × cos(1.04280096) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.50380271490387 × 6371000     		do = 307.716536756074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37889325--0.37879738) × cos(1.04275265) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.50384444539953 × 6371000     		du = 307.742025232459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04280096)-sin(1.04275265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.50380271490387-0.50384444539953)×R²
    abs(-0.37879738--0.37889325)×4.17304956600306e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.17304956600306e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.17304956600306e-05×40589641000000     		ar = 94713.8443884325m²