Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28814 / 42254
↖ ↑ ↗
← S 46.126556°
W 21.719971°		 ← 423.32 m → S 46.126556°
W 21.714478°		 →
↑
423.29 m
↓
↑
423.29 m
↓
S 46.130363°
W 21.719971°		 ← 423.29 m →
179 179 m²		 S 46.130363°
W 21.714478°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28814 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42254 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439674377441406 y=0.644752502441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439674377441406 × 216)
    floor (0.439674377441406 × 65536)
    floor (28814.5)     		tx = 28814
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644752502441406 × 216)
    floor (0.644752502441406 × 65536)
    floor (42254.5)     		ty = 42254
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28814 / 42254 ti = "16/28814/42254"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28814/42254.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28814 ÷ 216
    28814 ÷ 65536     		x = 0.439666748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42254 ÷ 216
    42254 ÷ 65536     		y = 0.644744873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439666748046875 × 2 - 1) × π
    -0.12066650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.37908500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644744873046875 × 2 - 1) × π
    -0.28948974609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.909458859591705
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37908500} λ = -0.37908500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.909458859591705))-π/2
    2×atan(0.402742105103387)-π/2
    2×0.382868023364584-π/2
    0.765736046729168-1.57079632675     		φ = -0.80506028
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37908500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.719971°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80506028 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.126556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28814 KachelY 42254 -0.37908500 -0.80506028 -21.719971 -46.126556
    Oben rechts KachelX + 1 28815 KachelY 42254 -0.37898913 -0.80506028 -21.714478 -46.126556
    Unten links KachelX 28814 KachelY + 1 42255 -0.37908500 -0.80512672 -21.719971 -46.130363
    Unten rechts KachelX + 1 28815 KachelY + 1 42255 -0.37898913 -0.80512672 -21.714478 -46.130363
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80506028--0.80512672) × R
    6.64400000000009e-05 × 6371000     		dl = 423.289240000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80506028--0.80512672) × R
    6.64400000000009e-05 × 6371000     		dr = 423.289240000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37908500--0.37898913) × cos(-0.80506028) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.693067782091439 × 6371000     		do = 423.317325082467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37908500--0.37898913) × cos(-0.80512672) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.693019885798032 × 6371000     		du = 423.288070612225m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80506028)-sin(-0.80512672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.693067782091439-0.693019885798032)×R²
    abs(-0.37898913--0.37908500)×4.78962934067351e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78962934067351e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78962934067351e-05×40589641000000     		ar = 179179.477327732m²