Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28814 / 20341
↖ ↑ ↗
← N 76.927449°
W100.859985°		 ← 69.08 m → N 76.927449°
W100.857239°		 →
↑
69.13 m
↓
↑
69.13 m
↓
N 76.926827°
W100.859985°		 ← 69.09 m →
4 775 m²		 N 76.926827°
W100.857239°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28814 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20341 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.219837188720703 y=0.155193328857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.219837188720703 × 217)
    floor (0.219837188720703 × 131072)
    floor (28814.5)     		tx = 28814
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155193328857422 × 217)
    floor (0.155193328857422 × 131072)
    floor (20341.5)     		ty = 20341
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28814 / 20341 ti = "17/28814/20341"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28814/20341.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28814 ÷ 217
    28814 ÷ 131072     		x = 0.219833374023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20341 ÷ 217
    20341 ÷ 131072     		y = 0.155189514160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.219833374023438 × 2 - 1) × π
    -0.560333251953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.76033883
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155189514160156 × 2 - 1) × π
    0.689620971679688 × 3.1415926535     		Φ = 2.16650817832844
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76033883} λ = -1.76033883}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16650817832844))-π/2
    2×atan(8.72775500671257)-π/2
    2×1.45671679723897-π/2
    2.91343359447793-1.57079632675     		φ = 1.34263727
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76033883} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.859985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34263727 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.927449°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28814 KachelY 20341 -1.76033883 1.34263727 -100.859985 76.927449
    Oben rechts KachelX + 1 28815 KachelY 20341 -1.76029089 1.34263727 -100.857239 76.927449
    Unten links KachelX 28814 KachelY + 1 20342 -1.76033883 1.34262642 -100.859985 76.926827
    Unten rechts KachelX + 1 28815 KachelY + 1 20342 -1.76029089 1.34262642 -100.857239 76.926827
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34263727-1.34262642) × R
    1.08500000000067e-05 × 6371000     		dl = 69.1253500000426m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34263727-1.34262642) × R
    1.08500000000067e-05 × 6371000     		dr = 69.1253500000426m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76033883--1.76029089) × cos(1.34263727) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.226184673697732 × 6371000     		do = 69.0826213407431m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76033883--1.76029089) × cos(1.34262642) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.226195242500577 × 6371000     		du = 69.0858493251727m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34263727)-sin(1.34262642))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226184673697732-0.226195242500577)×R²
    abs(-1.76029089--1.76033883)×1.05688028443351e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.05688028443351e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.05688028443351e-05×40589641000000     		ar = 4775.47194688961m²