Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28814 / 20339
↖ ↑ ↗
← N 76.928691°
W100.859985°		 ← 69.08 m → N 76.928691°
W100.857239°		 →
↑
69.06 m
↓
↑
69.06 m
↓
N 76.928070°
W100.859985°		 ← 69.08 m →
4 771 m²		 N 76.928070°
W100.857239°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28814 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20339 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.219837188720703 y=0.155178070068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.219837188720703 × 217)
    floor (0.219837188720703 × 131072)
    floor (28814.5)     		tx = 28814
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155178070068359 × 217)
    floor (0.155178070068359 × 131072)
    floor (20339.5)     		ty = 20339
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28814 / 20339 ti = "17/28814/20339"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28814/20339.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28814 ÷ 217
    28814 ÷ 131072     		x = 0.219833374023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20339 ÷ 217
    20339 ÷ 131072     		y = 0.155174255371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.219833374023438 × 2 - 1) × π
    -0.560333251953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.76033883
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155174255371094 × 2 - 1) × π
    0.689651489257812 × 3.1415926535     		Φ = 2.16660405212768
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76033883} λ = -1.76033883}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16660405212768))-π/2
    2×atan(8.72859180985701)-π/2
    2×1.4567276393248-π/2
    2.91345527864959-1.57079632675     		φ = 1.34265895
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76033883} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.859985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34265895 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.928691°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28814 KachelY 20339 -1.76033883 1.34265895 -100.859985 76.928691
    Oben rechts KachelX + 1 28815 KachelY 20339 -1.76029089 1.34265895 -100.857239 76.928691
    Unten links KachelX 28814 KachelY + 1 20340 -1.76033883 1.34264811 -100.859985 76.928070
    Unten rechts KachelX + 1 28815 KachelY + 1 20340 -1.76029089 1.34264811 -100.857239 76.928070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34265895-1.34264811) × R
    1.08399999998454e-05 × 6371000     		dl = 69.0616399990152m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34265895-1.34264811) × R
    1.08399999998454e-05 × 6371000     		dr = 69.0616399990152m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76033883--1.76029089) × cos(1.34265895) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.226163555493951 × 6371000     		do = 69.0761712977257m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76033883--1.76029089) × cos(1.34264811) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.22617411460913 × 6371000     		du = 69.079396323293m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34265895)-sin(1.34264811))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226163555493951-0.22617411460913)×R²
    abs(-1.76029089--1.76033883)×1.05591151789985e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.05591151789985e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.05591151789985e-05×40589641000000     		ar = 4770.62503735999m²