Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28813 / 37015
↖ ↑ ↗
← N 61.408551°
W100.862732°		 ← 146.13 m → N 61.408551°
W100.859985°		 →
↑
146.15 m
↓
↑
146.15 m
↓
N 61.407236°
W100.862732°		 ← 146.14 m →
21 358 m²		 N 61.407236°
W100.859985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28813 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37015 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.219829559326172 y=0.282405853271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.219829559326172 × 217)
    floor (0.219829559326172 × 131072)
    floor (28813.5)     		tx = 28813
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.282405853271484 × 217)
    floor (0.282405853271484 × 131072)
    floor (37015.5)     		ty = 37015
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28813 / 37015 ti = "17/28813/37015"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28813/37015.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28813 ÷ 217
    28813 ÷ 131072     		x = 0.219825744628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37015 ÷ 217
    37015 ÷ 131072     		y = 0.282402038574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.219825744628906 × 2 - 1) × π
    -0.560348510742188 × 3.1415926535     		Λ = -1.76038676
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.282402038574219 × 2 - 1) × π
    0.435195922851562 × 3.1415926535     		Φ = 1.36720831406362
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76038676} λ = -1.76038676}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.36720831406362))-π/2
    2×atan(3.92437975311713)-π/2
    2×1.32128886332144-π/2
    2.64257772664288-1.57079632675     		φ = 1.07178140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76038676} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.862732°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07178140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.408551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28813 KachelY 37015 -1.76038676 1.07178140 -100.862732 61.408551
    Oben rechts KachelX + 1 28814 KachelY 37015 -1.76033883 1.07178140 -100.859985 61.408551
    Unten links KachelX 28813 KachelY + 1 37016 -1.76038676 1.07175846 -100.862732 61.407236
    Unten rechts KachelX + 1 28814 KachelY + 1 37016 -1.76033883 1.07175846 -100.859985 61.407236
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07178140-1.07175846) × R
    2.29400000000268e-05 × 6371000     		dl = 146.150740000171m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07178140-1.07175846) × R
    2.29400000000268e-05 × 6371000     		dr = 146.150740000171m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76038676--1.76033883) × cos(1.07178140) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.478560823067156 × 6371000     		do = 146.134304410347m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76038676--1.76033883) × cos(1.07175846) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.478580965509292 × 6371000     		du = 146.140455147367m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07178140)-sin(1.07175846))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.478560823067156-0.478580965509292)×R²
    abs(-1.76033883--1.76038676)×2.01424421355512e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.01424421355512e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.01424421355512e-05×40589641000000     		ar = 21358.0861973235m²