Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28812 / 42271
↖ ↑ ↗
← S 46.191240°
W 21.730957°		 ← 422.82 m → S 46.191240°
W 21.725464°		 →
↑
422.78 m
↓
↑
422.78 m
↓
S 46.195042°
W 21.730957°		 ← 422.79 m →
178 753 m²		 S 46.195042°
W 21.725464°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28812 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439643859863281 y=0.645011901855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439643859863281 × 216)
    floor (0.439643859863281 × 65536)
    floor (28812.5)     		tx = 28812
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645011901855469 × 216)
    floor (0.645011901855469 × 65536)
    floor (42271.5)     		ty = 42271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28812 / 42271 ti = "16/28812/42271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28812/42271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28812 ÷ 216
    28812 ÷ 65536     		x = 0.43963623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42271 ÷ 216
    42271 ÷ 65536     		y = 0.645004272460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43963623046875 × 2 - 1) × π
    -0.1207275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.37927675
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645004272460938 × 2 - 1) × π
    -0.290008544921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.911088714178787
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37927675} λ = -0.37927675}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.911088714178787))-π/2
    2×atan(0.402086228672768)-π/2
    2×0.382303555299291-π/2
    0.764607110598581-1.57079632675     		φ = -0.80618922
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37927675} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.730957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80618922 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.191240°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28812 KachelY 42271 -0.37927675 -0.80618922 -21.730957 -46.191240
    Oben rechts KachelX + 1 28813 KachelY 42271 -0.37918088 -0.80618922 -21.725464 -46.191240
    Unten links KachelX 28812 KachelY + 1 42272 -0.37927675 -0.80625558 -21.730957 -46.195042
    Unten rechts KachelX + 1 28813 KachelY + 1 42272 -0.37918088 -0.80625558 -21.725464 -46.195042
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80618922--0.80625558) × R
    6.6359999999932e-05 × 6371000     		dl = 422.779559999567m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80618922--0.80625558) × R
    6.6359999999932e-05 × 6371000     		dr = 422.779559999567m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37927675--0.37918088) × cos(-0.80618922) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.692253518892414 × 6371000     		do = 422.819983078941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37927675--0.37918088) × cos(-0.80625558) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.692205628382587 × 6371000     		du = 422.79073214124m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80618922)-sin(-0.80625558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.692253518892414-0.692205628382587)×R²
    abs(-0.37918088--0.37927675)×4.78905098268978e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78905098268978e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78905098268978e-05×40589641000000     		ar = 178753.463121175m²