Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28812 / 20340
↖ ↑ ↗
← N 76.928070°
W100.865478°		 ← 69.08 m → N 76.928070°
W100.862732°		 →
↑
69.06 m
↓
↑
69.06 m
↓
N 76.927449°
W100.865478°		 ← 69.08 m →
4 771 m²		 N 76.927449°
W100.862732°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28812 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20340 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.219821929931641 y=0.155185699462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.219821929931641 × 217)
    floor (0.219821929931641 × 131072)
    floor (28812.5)     		tx = 28812
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155185699462891 × 217)
    floor (0.155185699462891 × 131072)
    floor (20340.5)     		ty = 20340
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28812 / 20340 ti = "17/28812/20340"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28812/20340.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28812 ÷ 217
    28812 ÷ 131072     		x = 0.219818115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20340 ÷ 217
    20340 ÷ 131072     		y = 0.155181884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.219818115234375 × 2 - 1) × π
    -0.56036376953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.76043470
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155181884765625 × 2 - 1) × π
    0.68963623046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.16655611522806
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76043470} λ = -1.76043470}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16655611522806))-π/2
    2×atan(8.72817339825635)-π/2
    2×1.45672221840845-π/2
    2.9134444368169-1.57079632675     		φ = 1.34264811
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76043470} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.865478°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34264811 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.928070°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28812 KachelY 20340 -1.76043470 1.34264811 -100.865478 76.928070
    Oben rechts KachelX + 1 28813 KachelY 20340 -1.76038676 1.34264811 -100.862732 76.928070
    Unten links KachelX 28812 KachelY + 1 20341 -1.76043470 1.34263727 -100.865478 76.927449
    Unten rechts KachelX + 1 28813 KachelY + 1 20341 -1.76038676 1.34263727 -100.862732 76.927449
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34264811-1.34263727) × R
    1.08400000000675e-05 × 6371000     		dl = 69.0616400004298m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34264811-1.34263727) × R
    1.08400000000675e-05 × 6371000     		dr = 69.0616400004298m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76043470--1.76038676) × cos(1.34264811) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.22617411460913 × 6371000     		do = 69.079396323293m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76043470--1.76038676) × cos(1.34263727) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.226184673697732 × 6371000     		du = 69.0826213407431m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34264811)-sin(1.34263727))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22617411460913-0.226184673697732)×R²
    abs(-1.76038676--1.76043470)×1.05590886025075e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.05590886025075e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.05590886025075e-05×40589641000000     		ar = 4770.84776284787m²