Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28811 / 42580
↖ ↑ ↗
← S 47.353710°
W 21.736450°		 ← 413.79 m → S 47.353710°
W 21.730957°		 →
↑
413.80 m
↓
↑
413.80 m
↓
S 47.357432°
W 21.736450°		 ← 413.76 m →
171 219 m²		 S 47.357432°
W 21.730957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28811 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42580 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439628601074219 y=0.649726867675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439628601074219 × 216)
    floor (0.439628601074219 × 65536)
    floor (28811.5)     		tx = 28811
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649726867675781 × 216)
    floor (0.649726867675781 × 65536)
    floor (42580.5)     		ty = 42580
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28811 / 42580 ti = "16/28811/42580"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28811/42580.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28811 ÷ 216
    28811 ÷ 65536     		x = 0.439620971679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42580 ÷ 216
    42580 ÷ 65536     		y = 0.64971923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439620971679688 × 2 - 1) × π
    -0.120758056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.37937262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64971923828125 × 2 - 1) × π
    -0.2994384765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.940713718143982
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37937262} λ = -0.37937262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.940713718143982))-π/2
    2×atan(0.390349136652873)-π/2
    2×0.372159081732998-π/2
    0.744318163465996-1.57079632675     		φ = -0.82647816
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37937262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.736450°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82647816 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.353710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28811 KachelY 42580 -0.37937262 -0.82647816 -21.736450 -47.353710
    Oben rechts KachelX + 1 28812 KachelY 42580 -0.37927675 -0.82647816 -21.730957 -47.353710
    Unten links KachelX 28811 KachelY + 1 42581 -0.37937262 -0.82654311 -21.736450 -47.357432
    Unten rechts KachelX + 1 28812 KachelY + 1 42581 -0.37927675 -0.82654311 -21.730957 -47.357432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82647816--0.82654311) × R
    6.49500000000636e-05 × 6371000     		dl = 413.796450000405m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82647816--0.82654311) × R
    6.49500000000636e-05 × 6371000     		dr = 413.796450000405m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37937262--0.37927675) × cos(-0.82647816) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.677470445560675 × 6371000     		do = 413.790662684902m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37937262--0.37927675) × cos(-0.82654311) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.677422670159567 × 6371000     		du = 413.761482054198m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82647816)-sin(-0.82654311))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.677470445560675-0.677422670159567)×R²
    abs(-0.37927675--0.37937262)×4.77754011080078e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77754011080078e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77754011080078e-05×40589641000000     		ar = 171219.06990154m²