Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28811 / 42385
↖ ↑ ↗
← S 46.623034°
W 21.736450°		 ← 419.49 m → S 46.623034°
W 21.730957°		 →
↑
419.47 m
↓
↑
419.47 m
↓
S 46.626806°
W 21.736450°		 ← 419.46 m →
175 954 m²		 S 46.626806°
W 21.730957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28811 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42385 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439628601074219 y=0.646751403808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439628601074219 × 216)
    floor (0.439628601074219 × 65536)
    floor (28811.5)     		tx = 28811
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646751403808594 × 216)
    floor (0.646751403808594 × 65536)
    floor (42385.5)     		ty = 42385
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28811 / 42385 ti = "16/28811/42385"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28811/42385.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28811 ÷ 216
    28811 ÷ 65536     		x = 0.439620971679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42385 ÷ 216
    42385 ÷ 65536     		y = 0.646743774414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439620971679688 × 2 - 1) × π
    -0.120758056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.37937262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646743774414062 × 2 - 1) × π
    -0.293487548828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.92201832729216
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37937262} λ = -0.37937262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.92201832729216))-π/2
    2×atan(0.397715510394184)-π/2
    2×0.37853543945517-π/2
    0.75707087891034-1.57079632675     		φ = -0.81372545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37937262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.736450°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81372545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.623034°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28811 KachelY 42385 -0.37937262 -0.81372545 -21.736450 -46.623034
    Oben rechts KachelX + 1 28812 KachelY 42385 -0.37927675 -0.81372545 -21.730957 -46.623034
    Unten links KachelX 28811 KachelY + 1 42386 -0.37937262 -0.81379129 -21.736450 -46.626806
    Unten rechts KachelX + 1 28812 KachelY + 1 42386 -0.37927675 -0.81379129 -21.730957 -46.626806
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81372545--0.81379129) × R
    6.58399999999837e-05 × 6371000     		dl = 419.466639999896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81372545--0.81379129) × R
    6.58399999999837e-05 × 6371000     		dr = 419.466639999896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37937262--0.37927675) × cos(-0.81372545) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.686795358778429 × 6371000     		do = 419.486205634617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37937262--0.37927675) × cos(-0.81379129) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.686747501430944 × 6371000     		du = 419.456974952069m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81372545)-sin(-0.81379129))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.686795358778429-0.686747501430944)×R²
    abs(-0.37927675--0.37937262)×4.78573474849142e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78573474849142e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78573474849142e-05×40589641000000     		ar = 175954.33861917m²