Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28811 / 22106
↖ ↑ ↗
← N 50.422519°
W 21.736450°		 ← 389.15 m → N 50.422519°
W 21.730957°		 →
↑
389.14 m
↓
↑
389.14 m
↓
N 50.419019°
W 21.736450°		 ← 389.17 m →
151 438 m²		 N 50.419019°
W 21.730957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28811 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22106 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439628601074219 y=0.337318420410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439628601074219 × 216)
    floor (0.439628601074219 × 65536)
    floor (28811.5)     		tx = 28811
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337318420410156 × 216)
    floor (0.337318420410156 × 65536)
    floor (22106.5)     		ty = 22106
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28811 / 22106 ti = "16/28811/22106"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28811/22106.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28811 ÷ 216
    28811 ÷ 65536     		x = 0.439620971679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22106 ÷ 216
    22106 ÷ 65536     		y = 0.337310791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439620971679688 × 2 - 1) × π
    -0.120758056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.37937262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337310791015625 × 2 - 1) × π
    0.32537841796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.02220644749808
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37937262} λ = -0.37937262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02220644749808))-π/2
    2×atan(2.7793204281059)-π/2
    2×1.22541764886618-π/2
    2.45083529773236-1.57079632675     		φ = 0.88003897
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37937262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.736450°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88003897 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.422519°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28811 KachelY 22106 -0.37937262 0.88003897 -21.736450 50.422519
    Oben rechts KachelX + 1 28812 KachelY 22106 -0.37927675 0.88003897 -21.730957 50.422519
    Unten links KachelX 28811 KachelY + 1 22107 -0.37937262 0.87997789 -21.736450 50.419019
    Unten rechts KachelX + 1 28812 KachelY + 1 22107 -0.37927675 0.87997789 -21.730957 50.419019
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88003897-0.87997789) × R
    6.10799999999356e-05 × 6371000     		dl = 389.14067999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88003897-0.87997789) × R
    6.10799999999356e-05 × 6371000     		dr = 389.14067999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37937262--0.37927675) × cos(0.88003897) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.637121108020669 × 6371000     		do = 389.145780787865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37937262--0.37927675) × cos(0.87997789) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.637168185079455 × 6371000     		du = 389.174534879619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88003897)-sin(0.87997789))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637121108020669-0.637168185079455)×R²
    abs(-0.37927675--0.37937262)×4.70770587860381e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.70770587860381e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.70770587860381e-05×40589641000000     		ar = 151438.048495209m²