Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28810 / 42848
↖ ↑ ↗
← S 48.341646°
W 21.741944°		 ← 406.03 m → S 48.341646°
W 21.736450°		 →
↑
406.02 m
↓
↑
406.02 m
↓
S 48.345298°
W 21.741944°		 ← 406 m →
164 850 m²		 S 48.345298°
W 21.736450°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28810 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42848 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439613342285156 y=0.653816223144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439613342285156 × 216)
    floor (0.439613342285156 × 65536)
    floor (28810.5)     		tx = 28810
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653816223144531 × 216)
    floor (0.653816223144531 × 65536)
    floor (42848.5)     		ty = 42848
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28810 / 42848 ti = "16/28810/42848"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28810/42848.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28810 ÷ 216
    28810 ÷ 65536     		x = 0.439605712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42848 ÷ 216
    42848 ÷ 65536     		y = 0.65380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439605712890625 × 2 - 1) × π
    -0.12078857421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37946850
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65380859375 × 2 - 1) × π
    -0.3076171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.966407896340332
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37946850} λ = -0.37946850}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.966407896340332))-π/2
    2×atan(0.380447192296693)-π/2
    2×0.363537717635603-π/2
    0.727075435271206-1.57079632675     		φ = -0.84372089
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37946850} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.741944°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84372089 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.341646°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28810 KachelY 42848 -0.37946850 -0.84372089 -21.741944 -48.341646
    Oben rechts KachelX + 1 28811 KachelY 42848 -0.37937262 -0.84372089 -21.736450 -48.341646
    Unten links KachelX 28810 KachelY + 1 42849 -0.37946850 -0.84378462 -21.741944 -48.345298
    Unten rechts KachelX + 1 28811 KachelY + 1 42849 -0.37937262 -0.84378462 -21.736450 -48.345298
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84372089--0.84378462) × R
    6.37300000000396e-05 × 6371000     		dl = 406.023830000252m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84372089--0.84378462) × R
    6.37300000000396e-05 × 6371000     		dr = 406.023830000252m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37946850--0.37937262) × cos(-0.84372089) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.664687476582563 × 6371000     		do = 406.025328807893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37946850--0.37937262) × cos(-0.84378462) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.664639861178613 × 6371000     		du = 405.996242867919m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84372089)-sin(-0.84378462))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664687476582563-0.664639861178613)×R²
    abs(-0.37937262--0.37946850)×4.76154039498189e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.76154039498189e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.76154039498189e-05×40589641000000     		ar = 164850.054343019m²