Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28810 / 42614
↖ ↑ ↗
← S 47.480088°
W 21.741944°		 ← 412.84 m → S 47.480088°
W 21.736450°		 →
↑
412.84 m
↓
↑
412.84 m
↓
S 47.483801°
W 21.741944°		 ← 412.81 m →
170 432 m²		 S 47.483801°
W 21.736450°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28810 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42614 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439613342285156 y=0.650245666503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439613342285156 × 216)
    floor (0.439613342285156 × 65536)
    floor (28810.5)     		tx = 28810
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650245666503906 × 216)
    floor (0.650245666503906 × 65536)
    floor (42614.5)     		ty = 42614
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28810 / 42614 ti = "16/28810/42614"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28810/42614.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28810 ÷ 216
    28810 ÷ 65536     		x = 0.439605712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42614 ÷ 216
    42614 ÷ 65536     		y = 0.650238037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439605712890625 × 2 - 1) × π
    -0.12078857421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37946850
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650238037109375 × 2 - 1) × π
    -0.30047607421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.943973427318146
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37946850} λ = -0.37946850}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.943973427318146))-π/2
    2×atan(0.389078783606605)-π/2
    2×0.371056226993762-π/2
    0.742112453987523-1.57079632675     		φ = -0.82868387
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37946850} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.741944°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82868387 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.480088°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28810 KachelY 42614 -0.37946850 -0.82868387 -21.741944 -47.480088
    Oben rechts KachelX + 1 28811 KachelY 42614 -0.37937262 -0.82868387 -21.736450 -47.480088
    Unten links KachelX 28810 KachelY + 1 42615 -0.37946850 -0.82874867 -21.741944 -47.483801
    Unten rechts KachelX + 1 28811 KachelY + 1 42615 -0.37937262 -0.82874867 -21.736450 -47.483801
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82868387--0.82874867) × R
    6.4799999999976e-05 × 6371000     		dl = 412.840799999847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82868387--0.82874867) × R
    6.4799999999976e-05 × 6371000     		dr = 412.840799999847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37946850--0.37937262) × cos(-0.82868387) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.675846388897141 × 6371000     		do = 412.841766910442m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37946850--0.37937262) × cos(-0.82874867) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.675798627123702 × 6371000     		du = 412.81259156045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82868387)-sin(-0.82874867))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.675846388897141-0.675798627123702)×R²
    abs(-0.37937262--0.37946850)×4.77617734386815e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.77617734386815e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.77617734386815e-05×40589641000000     		ar = 170431.902996643m²