Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28810 / 19075
↖ ↑ ↗
← N 59.880668°
W 21.741944°		 ← 306.53 m → N 59.880668°
W 21.736450°		 →
↑
306.51 m
↓
↑
306.51 m
↓
N 59.877912°
W 21.741944°		 ← 306.55 m →
93 957 m²		 N 59.877912°
W 21.736450°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28810 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19075 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439613342285156 y=0.291069030761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439613342285156 × 216)
    floor (0.439613342285156 × 65536)
    floor (28810.5)     		tx = 28810
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291069030761719 × 216)
    floor (0.291069030761719 × 65536)
    floor (19075.5)     		ty = 19075
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28810 / 19075 ti = "16/28810/19075"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28810/19075.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28810 ÷ 216
    28810 ÷ 65536     		x = 0.439605712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19075 ÷ 216
    19075 ÷ 65536     		y = 0.291061401367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439605712890625 × 2 - 1) × π
    -0.12078857421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37946850
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.291061401367188 × 2 - 1) × π
    0.417877197265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.31279993299486
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37946850} λ = -0.37946850}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31279993299486))-π/2
    2×atan(3.7165652913455)-π/2
    2×1.30795557496421-π/2
    2.61591114992842-1.57079632675     		φ = 1.04511482
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37946850} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.741944°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04511482 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.880668°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28810 KachelY 19075 -0.37946850 1.04511482 -21.741944 59.880668
    Oben rechts KachelX + 1 28811 KachelY 19075 -0.37937262 1.04511482 -21.736450 59.880668
    Unten links KachelX 28810 KachelY + 1 19076 -0.37946850 1.04506671 -21.741944 59.877912
    Unten rechts KachelX + 1 28811 KachelY + 1 19076 -0.37937262 1.04506671 -21.736450 59.877912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04511482-1.04506671) × R
    4.81100000000456e-05 × 6371000     		dl = 306.508810000291m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04511482-1.04506671) × R
    4.81100000000456e-05 × 6371000     		dr = 306.508810000291m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37946850--0.37937262) × cos(1.04511482) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.501802612379587 × 6371000     		do = 306.526868439913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37946850--0.37937262) × cos(1.04506671) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.501844226090589 × 6371000     		du = 306.552288236868m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04511482)-sin(1.04506671))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.501802612379587-0.501844226090589)×R²
    abs(-0.37937262--0.37946850)×4.16137110027526e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.16137110027526e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.16137110027526e-05×40589641000000     		ar = 93957.0813926121m²