Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28809 / 22104
↖ ↑ ↗
← N 50.429518°
W 21.747436°		 ← 389.09 m → N 50.429518°
W 21.741944°		 →
↑
389.14 m
↓
↑
389.14 m
↓
N 50.426018°
W 21.747436°		 ← 389.12 m →
151 416 m²		 N 50.426018°
W 21.741944°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28809 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439598083496094 y=0.337287902832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439598083496094 × 216)
    floor (0.439598083496094 × 65536)
    floor (28809.5)     		tx = 28809
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337287902832031 × 216)
    floor (0.337287902832031 × 65536)
    floor (22104.5)     		ty = 22104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28809 / 22104 ti = "16/28809/22104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28809/22104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28809 ÷ 216
    28809 ÷ 65536     		x = 0.439590454101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22104 ÷ 216
    22104 ÷ 65536     		y = 0.3372802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439590454101562 × 2 - 1) × π
    -0.120819091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37956437
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3372802734375 × 2 - 1) × π
    0.325439453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.02239819509656
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37956437} λ = -0.37956437}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02239819509656))-π/2
    2×atan(2.7798534072205)-π/2
    2×1.22547872757357-π/2
    2.45095745514715-1.57079632675     		φ = 0.88016113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37956437} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.747436°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88016113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.429518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28809 KachelY 22104 -0.37956437 0.88016113 -21.747436 50.429518
    Oben rechts KachelX + 1 28810 KachelY 22104 -0.37946850 0.88016113 -21.741944 50.429518
    Unten links KachelX 28809 KachelY + 1 22105 -0.37956437 0.88010005 -21.747436 50.426018
    Unten rechts KachelX + 1 28810 KachelY + 1 22105 -0.37946850 0.88010005 -21.741944 50.426018
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88016113-0.88010005) × R
    6.10799999999356e-05 × 6371000     		dl = 389.14067999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88016113-0.88010005) × R
    6.10799999999356e-05 × 6371000     		dr = 389.14067999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37956437--0.37946850) × cos(0.88016113) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.637026946772422 × 6371000     		do = 389.088268249028m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37956437--0.37946850) × cos(0.88010005) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.637074028584933 × 6371000     		du = 389.117025244299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88016113)-sin(0.88010005))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637026946772422-0.637074028584933)×R²
    abs(-0.37946850--0.37956437)×4.70818125103412e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.70818125103412e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.70818125103412e-05×40589641000000     		ar = 151415.668591807m²