Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28809 / 20601
↖ ↑ ↗
← N 76.764944°
W100.873718°		 ← 69.91 m → N 76.764944°
W100.870972°		 →
↑
69.95 m
↓
↑
69.95 m
↓
N 76.764315°
W100.873718°		 ← 69.91 m →
4 891 m²		 N 76.764315°
W100.870972°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28809 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20601 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.219799041748047 y=0.157176971435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.219799041748047 × 217)
    floor (0.219799041748047 × 131072)
    floor (28809.5)     		tx = 28809
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157176971435547 × 217)
    floor (0.157176971435547 × 131072)
    floor (20601.5)     		ty = 20601
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28809 / 20601 ti = "17/28809/20601"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28809/20601.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28809 ÷ 217
    28809 ÷ 131072     		x = 0.219795227050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20601 ÷ 217
    20601 ÷ 131072     		y = 0.157173156738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.219795227050781 × 2 - 1) × π
    -0.560409545898438 × 3.1415926535     		Λ = -1.76057851
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.157173156738281 × 2 - 1) × π
    0.685653686523438 × 3.1415926535     		Φ = 2.15404458442722
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76057851} λ = -1.76057851}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15404458442722))-π/2
    2×atan(8.61965089492845)-π/2
    2×1.4552986711218-π/2
    2.9105973422436-1.57079632675     		φ = 1.33980102
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76057851} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.873718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33980102 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.764944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28809 KachelY 20601 -1.76057851 1.33980102 -100.873718 76.764944
    Oben rechts KachelX + 1 28810 KachelY 20601 -1.76053058 1.33980102 -100.870972 76.764944
    Unten links KachelX 28809 KachelY + 1 20602 -1.76057851 1.33979004 -100.873718 76.764315
    Unten rechts KachelX + 1 28810 KachelY + 1 20602 -1.76053058 1.33979004 -100.870972 76.764315
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33980102-1.33979004) × R
    1.09799999998828e-05 × 6371000     		dl = 69.953579999253m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33980102-1.33979004) × R
    1.09799999998828e-05 × 6371000     		dr = 69.953579999253m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76057851--1.76053058) × cos(1.33980102) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.228946507232778 × 6371000     		do = 69.9115702100537m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76057851--1.76053058) × cos(1.33979004) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.228957195579254 × 6371000     		du = 69.9148340252308m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33980102)-sin(1.33979004))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228946507232778-0.228957195579254)×R²
    abs(-1.76053058--1.76057851)×1.06883464757179e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.06883464757179e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.06883464757179e-05×40589641000000     		ar = 4890.67877739112m²