Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28809 / 19113
↖ ↑ ↗
← N 59.775757°
W 21.747436°		 ← 307.46 m → N 59.775757°
W 21.741944°		 →
↑
307.46 m
↓
↑
307.46 m
↓
N 59.772992°
W 21.747436°		 ← 307.49 m →
94 537 m²		 N 59.772992°
W 21.741944°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28809 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19113 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439598083496094 y=0.291648864746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439598083496094 × 216)
    floor (0.439598083496094 × 65536)
    floor (28809.5)     		tx = 28809
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291648864746094 × 216)
    floor (0.291648864746094 × 65536)
    floor (19113.5)     		ty = 19113
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28809 / 19113 ti = "16/28809/19113"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28809/19113.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28809 ÷ 216
    28809 ÷ 65536     		x = 0.439590454101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19113 ÷ 216
    19113 ÷ 65536     		y = 0.291641235351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439590454101562 × 2 - 1) × π
    -0.120819091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37956437
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.291641235351562 × 2 - 1) × π
    0.416717529296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.30915672862373
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37956437} λ = -0.37956437}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30915672862373))-π/2
    2×atan(3.70304971937521)-π/2
    2×1.30704004895008-π/2
    2.61408009790016-1.57079632675     		φ = 1.04328377
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37956437} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.747436°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04328377 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.775757°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28809 KachelY 19113 -0.37956437 1.04328377 -21.747436 59.775757
    Oben rechts KachelX + 1 28810 KachelY 19113 -0.37946850 1.04328377 -21.741944 59.775757
    Unten links KachelX 28809 KachelY + 1 19114 -0.37956437 1.04323551 -21.747436 59.772992
    Unten rechts KachelX + 1 28810 KachelY + 1 19114 -0.37946850 1.04323551 -21.741944 59.772992
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04328377-1.04323551) × R
    4.82600000000222e-05 × 6371000     		dl = 307.464460000141m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04328377-1.04323551) × R
    4.82600000000222e-05 × 6371000     		dr = 307.464460000141m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37956437--0.37946850) × cos(1.04328377) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.503385595872143 × 6371000     		do = 307.461765552861m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37956437--0.37946850) × cos(1.04323551) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.503427294912518 × 6371000     		du = 307.487234816743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04328377)-sin(1.04323551))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.503385595872143-0.503427294912518)×R²
    abs(-0.37946850--0.37956437)×4.16990403756534e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.16990403756534e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.16990403756534e-05×40589641000000     		ar = 94537.481181459m²