Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28808 / 20602
↖ ↑ ↗
← N 76.764315°
W100.876465°		 ← 69.93 m → N 76.764315°
W100.873718°		 →
↑
69.95 m
↓
↑
69.95 m
↓
N 76.763686°
W100.876465°		 ← 69.93 m →
4 892 m²		 N 76.763686°
W100.873718°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28808 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20602 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.219791412353516 y=0.157184600830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.219791412353516 × 217)
    floor (0.219791412353516 × 131072)
    floor (28808.5)     		tx = 28808
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157184600830078 × 217)
    floor (0.157184600830078 × 131072)
    floor (20602.5)     		ty = 20602
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28808 / 20602 ti = "17/28808/20602"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28808/20602.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28808 ÷ 217
    28808 ÷ 131072     		x = 0.21978759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20602 ÷ 217
    20602 ÷ 131072     		y = 0.157180786132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.21978759765625 × 2 - 1) × π
    -0.5604248046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.76062645
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.157180786132812 × 2 - 1) × π
    0.685638427734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.1539966475276
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76062645} λ = -1.76062645}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1539966475276))-π/2
    2×atan(8.61923770549233)-π/2
    2×1.45529318350079-π/2
    2.91058636700159-1.57079632675     		φ = 1.33979004
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76062645} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.876465°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33979004 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.764315°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28808 KachelY 20602 -1.76062645 1.33979004 -100.876465 76.764315
    Oben rechts KachelX + 1 28809 KachelY 20602 -1.76057851 1.33979004 -100.873718 76.764315
    Unten links KachelX 28808 KachelY + 1 20603 -1.76062645 1.33977906 -100.876465 76.763686
    Unten rechts KachelX + 1 28809 KachelY + 1 20603 -1.76057851 1.33977906 -100.873718 76.763686
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33979004-1.33977906) × R
    1.09800000001048e-05 × 6371000     		dl = 69.9535800006676m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33979004-1.33977906) × R
    1.09800000001048e-05 × 6371000     		dr = 69.9535800006676m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76062645--1.76057851) × cos(1.33979004) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.228957195579254 × 6371000     		do = 69.9294208880725m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76062645--1.76057851) × cos(1.33977906) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.228967883898127 × 6371000     		du = 69.9326853757736m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33979004)-sin(1.33977906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228957195579254-0.228967883898127)×R²
    abs(-1.76057851--1.76062645)×1.06883188727702e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.06883188727702e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.06883188727702e-05×40589641000000     		ar = 4891.9275199791m²