Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28807 / 42873
↖ ↑ ↗
← S 48.432845°
W 21.758423°		 ← 405.30 m → S 48.432845°
W 21.752929°		 →
↑
405.26 m
↓
↑
405.26 m
↓
S 48.436490°
W 21.758423°		 ← 405.27 m →
164 245 m²		 S 48.436490°
W 21.752929°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28807 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42873 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439567565917969 y=0.654197692871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439567565917969 × 216)
    floor (0.439567565917969 × 65536)
    floor (28807.5)     		tx = 28807
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654197692871094 × 216)
    floor (0.654197692871094 × 65536)
    floor (42873.5)     		ty = 42873
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28807 / 42873 ti = "16/28807/42873"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28807/42873.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28807 ÷ 216
    28807 ÷ 65536     		x = 0.439559936523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42873 ÷ 216
    42873 ÷ 65536     		y = 0.654190063476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439559936523438 × 2 - 1) × π
    -0.120880126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.37975612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654190063476562 × 2 - 1) × π
    -0.308380126953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.968804741321335
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37975612} λ = -0.37975612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.968804741321335))-π/2
    2×atan(0.379536411289769)-π/2
    2×0.362741854354969-π/2
    0.725483708709939-1.57079632675     		φ = -0.84531262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37975612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.758423°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84531262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.432845°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28807 KachelY 42873 -0.37975612 -0.84531262 -21.758423 -48.432845
    Oben rechts KachelX + 1 28808 KachelY 42873 -0.37966024 -0.84531262 -21.752929 -48.432845
    Unten links KachelX 28807 KachelY + 1 42874 -0.37975612 -0.84537623 -21.758423 -48.436490
    Unten rechts KachelX + 1 28808 KachelY + 1 42874 -0.37966024 -0.84537623 -21.752929 -48.436490
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84531262--0.84537623) × R
    6.36099999999917e-05 × 6371000     		dl = 405.259309999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84531262--0.84537623) × R
    6.36099999999917e-05 × 6371000     		dr = 405.259309999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37975612--0.37966024) × cos(-0.84531262) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.663497419327964 × 6371000     		do = 405.298380572636m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37975612--0.37966024) × cos(-0.84537623) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.663449826346744 × 6371000     		du = 405.26930832962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84531262)-sin(-0.84537623))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663497419327964-0.663449826346744)×R²
    abs(-0.37966024--0.37975612)×4.75929812202569e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.75929812202569e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.75929812202569e-05×40589641000000     		ar = 164245.051211697m²