Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28807 / 42856
↖ ↑ ↗
← S 48.370847°
W 21.758423°		 ← 405.79 m → S 48.370847°
W 21.752929°		 →
↑
405.77 m
↓
↑
405.77 m
↓
S 48.374497°
W 21.758423°		 ← 405.76 m →
164 652 m²		 S 48.374497°
W 21.752929°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28807 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42856 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439567565917969 y=0.653938293457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439567565917969 × 216)
    floor (0.439567565917969 × 65536)
    floor (28807.5)     		tx = 28807
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653938293457031 × 216)
    floor (0.653938293457031 × 65536)
    floor (42856.5)     		ty = 42856
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28807 / 42856 ti = "16/28807/42856"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28807/42856.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28807 ÷ 216
    28807 ÷ 65536     		x = 0.439559936523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42856 ÷ 216
    42856 ÷ 65536     		y = 0.6539306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439559936523438 × 2 - 1) × π
    -0.120880126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.37975612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6539306640625 × 2 - 1) × π
    -0.307861328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.967174886734253
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37975612} λ = -0.37975612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.967174886734253))-π/2
    2×atan(0.380155504829849)-π/2
    2×0.363282886212966-π/2
    0.726565772425932-1.57079632675     		φ = -0.84423055
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37975612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.758423°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84423055 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.370847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28807 KachelY 42856 -0.37975612 -0.84423055 -21.758423 -48.370847
    Oben rechts KachelX + 1 28808 KachelY 42856 -0.37966024 -0.84423055 -21.752929 -48.370847
    Unten links KachelX 28807 KachelY + 1 42857 -0.37975612 -0.84429424 -21.758423 -48.374497
    Unten rechts KachelX + 1 28808 KachelY + 1 42857 -0.37966024 -0.84429424 -21.752929 -48.374497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84423055--0.84429424) × R
    6.36899999999496e-05 × 6371000     		dl = 405.768989999679m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84423055--0.84429424) × R
    6.36899999999496e-05 × 6371000     		dr = 405.768989999679m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37975612--0.37966024) × cos(-0.84423055) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.664306612320225 × 6371000     		do = 405.792677309565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37975612--0.37966024) × cos(-0.84429424) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.664259005233865 × 6371000     		du = 405.763596450403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84423055)-sin(-0.84429424))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664306612320225-0.664259005233865)×R²
    abs(-0.37966024--0.37975612)×4.76070863604239e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.76070863604239e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.76070863604239e-05×40589641000000     		ar = 164652.184821351m²