Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28807 / 20600
↖ ↑ ↗
← N 76.765572°
W100.879212°		 ← 69.92 m → N 76.765572°
W100.876465°		 →
↑
69.89 m
↓
↑
69.89 m
↓
N 76.764944°
W100.879212°		 ← 69.93 m →
4 887 m²		 N 76.764944°
W100.876465°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28807 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.219783782958984 y=0.157169342041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.219783782958984 × 217)
    floor (0.219783782958984 × 131072)
    floor (28807.5)     		tx = 28807
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157169342041016 × 217)
    floor (0.157169342041016 × 131072)
    floor (20600.5)     		ty = 20600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28807 / 20600 ti = "17/28807/20600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28807/20600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28807 ÷ 217
    28807 ÷ 131072     		x = 0.219779968261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20600 ÷ 217
    20600 ÷ 131072     		y = 0.15716552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.219779968261719 × 2 - 1) × π
    -0.560440063476562 × 3.1415926535     		Λ = -1.76067439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15716552734375 × 2 - 1) × π
    0.6856689453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.15409252132684
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76067439} λ = -1.76067439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15409252132684))-π/2
    2×atan(8.62006410417206)-π/2
    2×1.45530415848674-π/2
    2.91060831697349-1.57079632675     		φ = 1.33981199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76067439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.879212°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33981199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.765572°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28807 KachelY 20600 -1.76067439 1.33981199 -100.879212 76.765572
    Oben rechts KachelX + 1 28808 KachelY 20600 -1.76062645 1.33981199 -100.876465 76.765572
    Unten links KachelX 28807 KachelY + 1 20601 -1.76067439 1.33980102 -100.879212 76.764944
    Unten rechts KachelX + 1 28808 KachelY + 1 20601 -1.76062645 1.33980102 -100.876465 76.764944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33981199-1.33980102) × R
    1.09700000001656e-05 × 6371000     		dl = 69.8898700010548m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33981199-1.33980102) × R
    1.09700000001656e-05 × 6371000     		dr = 69.8898700010548m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76067439--1.76062645) × cos(1.33981199) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.228935828593116 × 6371000     		do = 69.9228948605196m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76067439--1.76062645) × cos(1.33980102) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.228946507232778 × 6371000     		du = 69.9261563919408m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33981199)-sin(1.33980102))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228935828593116-0.228946507232778)×R²
    abs(-1.76062645--1.76067439)×1.06786396626979e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.06786396626979e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.06786396626979e-05×40589641000000     		ar = 4887.01600592716m²