Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28806 / 42882
↖ ↑ ↗
← S 48.465637°
W 21.763916°		 ← 404.99 m → S 48.465637°
W 21.758423°		 →
↑
405 m
↓
↑
405 m
↓
S 48.469279°
W 21.763916°		 ← 404.97 m →
164 019 m²		 S 48.469279°
W 21.758423°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28806 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42882 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439552307128906 y=0.654335021972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439552307128906 × 216)
    floor (0.439552307128906 × 65536)
    floor (28806.5)     		tx = 28806
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654335021972656 × 216)
    floor (0.654335021972656 × 65536)
    floor (42882.5)     		ty = 42882
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28806 / 42882 ti = "16/28806/42882"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28806/42882.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28806 ÷ 216
    28806 ÷ 65536     		x = 0.439544677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42882 ÷ 216
    42882 ÷ 65536     		y = 0.654327392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439544677734375 × 2 - 1) × π
    -0.12091064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.37985199
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654327392578125 × 2 - 1) × π
    -0.30865478515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.969667605514496
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37985199} λ = -0.37985199}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.969667605514496))-π/2
    2×atan(0.379209064158835)-π/2
    2×0.362455692666854-π/2
    0.724911385333707-1.57079632675     		φ = -0.84588494
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37985199} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.763916°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84588494 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.465637°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28806 KachelY 42882 -0.37985199 -0.84588494 -21.763916 -48.465637
    Oben rechts KachelX + 1 28807 KachelY 42882 -0.37975612 -0.84588494 -21.758423 -48.465637
    Unten links KachelX 28806 KachelY + 1 42883 -0.37985199 -0.84594851 -21.763916 -48.469279
    Unten rechts KachelX + 1 28807 KachelY + 1 42883 -0.37975612 -0.84594851 -21.758423 -48.469279
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84588494--0.84594851) × R
    6.35700000000128e-05 × 6371000     		dl = 405.004470000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84588494--0.84594851) × R
    6.35700000000128e-05 × 6371000     		dr = 405.004470000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37985199--0.37975612) × cos(-0.84588494) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.663069113127069 × 6371000     		do = 404.994504962751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37985199--0.37975612) × cos(-0.84594851) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.663021525943718 × 6371000     		du = 404.965439293152m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84588494)-sin(-0.84594851))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663069113127069-0.663021525943718)×R²
    abs(-0.37975612--0.37985199)×4.7587183350406e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7587183350406e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7587183350406e-05×40589641000000     		ar = 164018.699027506m²