Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28805 / 19070
↖ ↑ ↗
← N 59.894448°
W 21.769409°		 ← 306.40 m → N 59.894448°
W 21.763916°		 →
↑
306.38 m
↓
↑
306.38 m
↓
N 59.891693°
W 21.769409°		 ← 306.43 m →
93 879 m²		 N 59.891693°
W 21.763916°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28805 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19070 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439537048339844 y=0.290992736816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439537048339844 × 216)
    floor (0.439537048339844 × 65536)
    floor (28805.5)     		tx = 28805
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.290992736816406 × 216)
    floor (0.290992736816406 × 65536)
    floor (19070.5)     		ty = 19070
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28805 / 19070 ti = "16/28805/19070"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28805/19070.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28805 ÷ 216
    28805 ÷ 65536     		x = 0.439529418945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19070 ÷ 216
    19070 ÷ 65536     		y = 0.290985107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439529418945312 × 2 - 1) × π
    -0.120941162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.37994787
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.290985107421875 × 2 - 1) × π
    0.41802978515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.31327930199106
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37994787} λ = -0.37994787}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31327930199106))-π/2
    2×atan(3.71834732461015)-π/2
    2×1.30807582433754-π/2
    2.61615164867507-1.57079632675     		φ = 1.04535532
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37994787} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.769409°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04535532 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.894448°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28805 KachelY 19070 -0.37994787 1.04535532 -21.769409 59.894448
    Oben rechts KachelX + 1 28806 KachelY 19070 -0.37985199 1.04535532 -21.763916 59.894448
    Unten links KachelX 28805 KachelY + 1 19071 -0.37994787 1.04530723 -21.769409 59.891693
    Unten rechts KachelX + 1 28806 KachelY + 1 19071 -0.37985199 1.04530723 -21.763916 59.891693
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04535532-1.04530723) × R
    4.80900000001672e-05 × 6371000     		dl = 306.381390001065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04535532-1.04530723) × R
    4.80900000001672e-05 × 6371000     		dr = 306.381390001065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37994787--0.37985199) × cos(1.04535532) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.501594569659766 × 6371000     		do = 306.399785236785m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37994787--0.37985199) × cos(1.04530723) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.501636171874317 × 6371000     		du = 306.425198011115m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04535532)-sin(1.04530723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.501594569659766-0.501636171874317)×R²
    abs(-0.37985199--0.37994787)×4.160221455074e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.160221455074e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.160221455074e-05×40589641000000     		ar = 93879.0851152847m²