Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28804 / 22068
↖ ↑ ↗
← N 50.555325°
W 21.774902°		 ← 388.05 m → N 50.555325°
W 21.769409°		 →
↑
388.12 m
↓
↑
388.12 m
↓
N 50.551835°
W 21.774902°		 ← 388.08 m →
150 617 m²		 N 50.551835°
W 21.769409°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28804 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22068 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439521789550781 y=0.336738586425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439521789550781 × 216)
    floor (0.439521789550781 × 65536)
    floor (28804.5)     		tx = 28804
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336738586425781 × 216)
    floor (0.336738586425781 × 65536)
    floor (22068.5)     		ty = 22068
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28804 / 22068 ti = "16/28804/22068"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28804/22068.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28804 ÷ 216
    28804 ÷ 65536     		x = 0.43951416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22068 ÷ 216
    22068 ÷ 65536     		y = 0.33673095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43951416015625 × 2 - 1) × π
    -0.1209716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38004374
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33673095703125 × 2 - 1) × π
    0.3265380859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.0258496518692
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38004374} λ = -0.38004374}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0258496518692))-π/2
    2×atan(2.78946452773222)-π/2
    2×1.22657660106849-π/2
    2.45315320213698-1.57079632675     		φ = 0.88235688
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38004374} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.774902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88235688 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.555325°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28804 KachelY 22068 -0.38004374 0.88235688 -21.774902 50.555325
    Oben rechts KachelX + 1 28805 KachelY 22068 -0.37994787 0.88235688 -21.769409 50.555325
    Unten links KachelX 28804 KachelY + 1 22069 -0.38004374 0.88229596 -21.774902 50.551835
    Unten rechts KachelX + 1 28805 KachelY + 1 22069 -0.37994787 0.88229596 -21.769409 50.551835
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88235688-0.88229596) × R
    6.09200000000198e-05 × 6371000     		dl = 388.121320000126m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88235688-0.88229596) × R
    6.09200000000198e-05 × 6371000     		dr = 388.121320000126m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38004374--0.37994787) × cos(0.88235688) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.63533283718214 × 6371000     		do = 388.053526830244m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38004374--0.37994787) × cos(0.88229596) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.635379880768062 × 6371000     		du = 388.082260477182m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88235688)-sin(0.88229596))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63533283718214-0.635379880768062)×R²
    abs(-0.37994787--0.38004374)×4.70435859211138e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.70435859211138e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.70435859211138e-05×40589641000000     		ar = 150617.423180924m²