Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28804 / 20358
↖ ↑ ↗
← N 76.916884°
W100.887451°		 ← 69.14 m → N 76.916884°
W100.884705°		 →
↑
69.13 m
↓
↑
69.13 m
↓
N 76.916262°
W100.887451°		 ← 69.14 m →
4 779 m²		 N 76.916262°
W100.884705°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28804 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20358 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.219760894775391 y=0.155323028564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.219760894775391 × 217)
    floor (0.219760894775391 × 131072)
    floor (28804.5)     		tx = 28804
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155323028564453 × 217)
    floor (0.155323028564453 × 131072)
    floor (20358.5)     		ty = 20358
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28804 / 20358 ti = "17/28804/20358"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28804/20358.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28804 ÷ 217
    28804 ÷ 131072     		x = 0.219757080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20358 ÷ 217
    20358 ÷ 131072     		y = 0.155319213867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.219757080078125 × 2 - 1) × π
    -0.56048583984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.76081820
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155319213867188 × 2 - 1) × π
    0.689361572265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.1656932510349
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76081820} λ = -1.76081820}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1656932510349))-π/2
    2×atan(8.72064541823857)-π/2
    2×1.45662459861742-π/2
    2.91324919723484-1.57079632675     		φ = 1.34245287
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76081820} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.887451°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34245287 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.916884°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28804 KachelY 20358 -1.76081820 1.34245287 -100.887451 76.916884
    Oben rechts KachelX + 1 28805 KachelY 20358 -1.76077026 1.34245287 -100.884705 76.916884
    Unten links KachelX 28804 KachelY + 1 20359 -1.76081820 1.34244202 -100.887451 76.916262
    Unten rechts KachelX + 1 28805 KachelY + 1 20359 -1.76077026 1.34244202 -100.884705 76.916262
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34245287-1.34244202) × R
    1.08500000000067e-05 × 6371000     		dl = 69.1253500000426m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34245287-1.34244202) × R
    1.08500000000067e-05 × 6371000     		dr = 69.1253500000426m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76081820--1.76077026) × cos(1.34245287) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.22636429102166 × 6371000     		do = 69.1374810948204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76081820--1.76077026) × cos(1.34244202) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.226374859371777 × 6371000     		du = 69.1407089409756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34245287)-sin(1.34244202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22636429102166-0.226374859371777)×R²
    abs(-1.76077026--1.76081820)×1.05683501173404e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.05683501173404e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.05683501173404e-05×40589641000000     		ar = 4779.26414185251m²