Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28803 / 20350
↖ ↑ ↗
← N 76.921856°
W100.890198°		 ← 69.10 m → N 76.921856°
W100.887451°		 →
↑
69.06 m
↓
↑
69.06 m
↓
N 76.921235°
W100.890198°		 ← 69.10 m →
4 772 m²		 N 76.921235°
W100.887451°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28803 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20350 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.219753265380859 y=0.155261993408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.219753265380859 × 217)
    floor (0.219753265380859 × 131072)
    floor (28803.5)     		tx = 28803
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155261993408203 × 217)
    floor (0.155261993408203 × 131072)
    floor (20350.5)     		ty = 20350
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28803 / 20350 ti = "17/28803/20350"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28803/20350.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28803 ÷ 217
    28803 ÷ 131072     		x = 0.219749450683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20350 ÷ 217
    20350 ÷ 131072     		y = 0.155258178710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.219749450683594 × 2 - 1) × π
    -0.560501098632812 × 3.1415926535     		Λ = -1.76086613
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155258178710938 × 2 - 1) × π
    0.689483642578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.16607674623186
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76086613} λ = -1.76086613}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16607674623186))-π/2
    2×atan(8.72399038521925)-π/2
    2×1.45666799532075-π/2
    2.91333599064149-1.57079632675     		φ = 1.34253966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76086613} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.890198°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34253966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.921856°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28803 KachelY 20350 -1.76086613 1.34253966 -100.890198 76.921856
    Oben rechts KachelX + 1 28804 KachelY 20350 -1.76081820 1.34253966 -100.887451 76.921856
    Unten links KachelX 28803 KachelY + 1 20351 -1.76086613 1.34252882 -100.890198 76.921235
    Unten rechts KachelX + 1 28804 KachelY + 1 20351 -1.76081820 1.34252882 -100.887451 76.921235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34253966-1.34252882) × R
    1.08399999998454e-05 × 6371000     		dl = 69.0616399990152m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34253966-1.34252882) × R
    1.08399999998454e-05 × 6371000     		dr = 69.0616399990152m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76086613--1.76081820) × cos(1.34253966) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.226279753002115 × 6371000     		do = 69.0972447246667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76086613--1.76081820) × cos(1.34252882) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.226290311824759 × 6371000     		du = 69.1004689881837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34253966)-sin(1.34252882))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226279753002115-0.226290311824759)×R²
    abs(-1.76081820--1.76086613)×1.05588226441411e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.05588226441411e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.05588226441411e-05×40589641000000     		ar = 4772.08037654428m²