Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28803 / 19077
↖ ↑ ↗
← N 59.875155°
W 21.780395°		 ← 306.55 m → N 59.875155°
W 21.774902°		 →
↑
306.57 m
↓
↑
306.57 m
↓
N 59.872398°
W 21.780395°		 ← 306.57 m →
93 982 m²		 N 59.872398°
W 21.774902°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28803 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19077 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439506530761719 y=0.291099548339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439506530761719 × 216)
    floor (0.439506530761719 × 65536)
    floor (28803.5)     		tx = 28803
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291099548339844 × 216)
    floor (0.291099548339844 × 65536)
    floor (19077.5)     		ty = 19077
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28803 / 19077 ti = "16/28803/19077"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28803/19077.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28803 ÷ 216
    28803 ÷ 65536     		x = 0.439498901367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19077 ÷ 216
    19077 ÷ 65536     		y = 0.291091918945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439498901367188 × 2 - 1) × π
    -0.121002197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38013961
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.291091918945312 × 2 - 1) × π
    0.417816162109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.31260818539638
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38013961} λ = -0.38013961}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31260818539638))-π/2
    2×atan(3.71585271719566)-π/2
    2×1.30790746125171-π/2
    2.61581492250342-1.57079632675     		φ = 1.04501860
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38013961} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.780395°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04501860 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.875155°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28803 KachelY 19077 -0.38013961 1.04501860 -21.780395 59.875155
    Oben rechts KachelX + 1 28804 KachelY 19077 -0.38004374 1.04501860 -21.774902 59.875155
    Unten links KachelX 28803 KachelY + 1 19078 -0.38013961 1.04497048 -21.780395 59.872398
    Unten rechts KachelX + 1 28804 KachelY + 1 19078 -0.38004374 1.04497048 -21.774902 59.872398
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04501860-1.04497048) × R
    4.81199999999848e-05 × 6371000     		dl = 306.572519999903m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04501860-1.04497048) × R
    4.81199999999848e-05 × 6371000     		dr = 306.572519999903m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38013961--0.38004374) × cos(1.04501860) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.501885838640037 × 6371000     		do = 306.545732177522m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38013961--0.38004374) × cos(1.04497048) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.501927458676932 × 6371000     		du = 306.571153187044m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04501860)-sin(1.04497048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.501885838640037-0.501927458676932)×R²
    abs(-0.38004374--0.38013961)×4.16200368943409e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.16200368943409e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.16200368943409e-05×40589641000000     		ar = 93982.3943186016m²