Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28802 / 28798
↖ ↑ ↗
← N 70.497408°
W100.892944°		 ← 101.97 m → N 70.497408°
W100.890198°		 →
↑
102 m
↓
↑
102 m
↓
N 70.496490°
W100.892944°		 ← 101.97 m →
10 401 m²		 N 70.496490°
W100.890198°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28802 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28798 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.219745635986328 y=0.219715118408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.219745635986328 × 217)
    floor (0.219745635986328 × 131072)
    floor (28802.5)     		tx = 28802
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219715118408203 × 217)
    floor (0.219715118408203 × 131072)
    floor (28798.5)     		ty = 28798
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28802 / 28798 ti = "17/28802/28798"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28802/28798.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28802 ÷ 217
    28802 ÷ 131072     		x = 0.219741821289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28798 ÷ 217
    28798 ÷ 131072     		y = 0.219711303710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.219741821289062 × 2 - 1) × π
    -0.560516357421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.76091407
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.219711303710938 × 2 - 1) × π
    0.560577392578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.76110581824162
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76091407} λ = -1.76091407}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76110581824162))-π/2
    2×atan(5.81886844883492)-π/2
    2×1.40060410100824-π/2
    2.80120820201648-1.57079632675     		φ = 1.23041188
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76091407} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.892944°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23041188 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.497408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28802 KachelY 28798 -1.76091407 1.23041188 -100.892944 70.497408
    Oben rechts KachelX + 1 28803 KachelY 28798 -1.76086613 1.23041188 -100.890198 70.497408
    Unten links KachelX 28802 KachelY + 1 28799 -1.76091407 1.23039587 -100.892944 70.496490
    Unten rechts KachelX + 1 28803 KachelY + 1 28799 -1.76086613 1.23039587 -100.890198 70.496490
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23041188-1.23039587) × R
    1.60099999999552e-05 × 6371000     		dl = 101.999709999715m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23041188-1.23039587) × R
    1.60099999999552e-05 × 6371000     		dr = 101.999709999715m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76091407--1.76086613) × cos(1.23041188) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.333849506496837 × 6371000     		do = 101.966232570837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76091407--1.76086613) × cos(1.23039587) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.333864597902519 × 6371000     		du = 101.970841874585m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23041188)-sin(1.23039587))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333849506496837-0.333864597902519)×R²
    abs(-1.76086613--1.76091407)×1.50914056821216e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.50914056821216e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.50914056821216e-05×40589641000000     		ar = 10400.7612260297m²