Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28801 / 20609
↖ ↑ ↗
← N 76.759912°
W100.895691°		 ← 69.95 m → N 76.759912°
W100.892944°		 →
↑
69.95 m
↓
↑
69.95 m
↓
N 76.759283°
W100.895691°		 ← 69.96 m →
4 894 m²		 N 76.759283°
W100.892944°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28801 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.219738006591797 y=0.157238006591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.219738006591797 × 217)
    floor (0.219738006591797 × 131072)
    floor (28801.5)     		tx = 28801
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157238006591797 × 217)
    floor (0.157238006591797 × 131072)
    floor (20609.5)     		ty = 20609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28801 / 20609 ti = "17/28801/20609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28801/20609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28801 ÷ 217
    28801 ÷ 131072     		x = 0.219734191894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20609 ÷ 217
    20609 ÷ 131072     		y = 0.157234191894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.219734191894531 × 2 - 1) × π
    -0.560531616210938 × 3.1415926535     		Λ = -1.76096201
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.157234191894531 × 2 - 1) × π
    0.685531616210938 × 3.1415926535     		Φ = 2.15366108923026
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76096201} λ = -1.76096201}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15366108923026))-π/2
    2×atan(8.6163459339696)-π/2
    2×1.45525476298292-π/2
    2.91050952596584-1.57079632675     		φ = 1.33971320
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76096201} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.895691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33971320 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.759912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28801 KachelY 20609 -1.76096201 1.33971320 -100.895691 76.759912
    Oben rechts KachelX + 1 28802 KachelY 20609 -1.76091407 1.33971320 -100.892944 76.759912
    Unten links KachelX 28801 KachelY + 1 20610 -1.76096201 1.33970222 -100.895691 76.759283
    Unten rechts KachelX + 1 28802 KachelY + 1 20610 -1.76091407 1.33970222 -100.892944 76.759283
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33971320-1.33970222) × R
    1.09800000001048e-05 × 6371000     		dl = 69.9535800006676m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33971320-1.33970222) × R
    1.09800000001048e-05 × 6371000     		dr = 69.9535800006676m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76096201--1.76091407) × cos(1.33971320) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.229031993763246 × 6371000     		do = 69.9522661787689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76096201--1.76091407) × cos(1.33970222) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.229042681888911 × 6371000     		du = 69.9555306074593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33971320)-sin(1.33970222))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.229031993763246-0.229042681888911)×R²
    abs(-1.76091407--1.76096201)×1.06881256647928e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.06881256647928e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.06881256647928e-05×40589641000000     		ar = 4893.52562765124m²