Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28799 / 42391
↖ ↑ ↗
← S 46.645665°
W 21.802368°		 ← 419.31 m → S 46.645665°
W 21.796875°		 →
↑
419.34 m
↓
↑
419.34 m
↓
S 46.649436°
W 21.802368°		 ← 419.28 m →
175 827 m²		 S 46.649436°
W 21.796875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28799 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42391 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439445495605469 y=0.646842956542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439445495605469 × 216)
    floor (0.439445495605469 × 65536)
    floor (28799.5)     		tx = 28799
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646842956542969 × 216)
    floor (0.646842956542969 × 65536)
    floor (42391.5)     		ty = 42391
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28799 / 42391 ti = "16/28799/42391"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28799/42391.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28799 ÷ 216
    28799 ÷ 65536     		x = 0.439437866210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42391 ÷ 216
    42391 ÷ 65536     		y = 0.646835327148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439437866210938 × 2 - 1) × π
    -0.121124267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38052311
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646835327148438 × 2 - 1) × π
    -0.293670654296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.922593570087601
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38052311} λ = -0.38052311}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.922593570087601))-π/2
    2×atan(0.39748679320246)-π/2
    2×0.378337943709739-π/2
    0.756675887419477-1.57079632675     		φ = -0.81412044
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38052311} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.802368°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81412044 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.645665°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28799 KachelY 42391 -0.38052311 -0.81412044 -21.802368 -46.645665
    Oben rechts KachelX + 1 28800 KachelY 42391 -0.38042724 -0.81412044 -21.796875 -46.645665
    Unten links KachelX 28799 KachelY + 1 42392 -0.38052311 -0.81418626 -21.802368 -46.649436
    Unten rechts KachelX + 1 28800 KachelY + 1 42392 -0.38042724 -0.81418626 -21.796875 -46.649436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81412044--0.81418626) × R
    6.58200000001052e-05 × 6371000     		dl = 419.33922000067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81412044--0.81418626) × R
    6.58200000001052e-05 × 6371000     		dr = 419.33922000067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38052311--0.38042724) × cos(-0.81412044) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.686508206398988 × 6371000     		do = 419.310816473129m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38052311--0.38042724) × cos(-0.81418626) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.686460345738307 × 6371000     		du = 419.28158376692m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81412044)-sin(-0.81418626))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.686508206398988-0.686460345738307)×R²
    abs(-0.38042724--0.38052311)×4.78606606814092e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78606606814092e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78606606814092e-05×40589641000000     		ar = 175827.341571306m²