Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28797 / 42893
↖ ↑ ↗
← S 48.505687°
W 21.813355°		 ← 404.72 m → S 48.505687°
W 21.807861°		 →
↑
404.62 m
↓
↑
404.62 m
↓
S 48.509326°
W 21.813355°		 ← 404.69 m →
163 752 m²		 S 48.509326°
W 21.807861°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28797 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42893 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439414978027344 y=0.654502868652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439414978027344 × 216)
    floor (0.439414978027344 × 65536)
    floor (28797.5)     		tx = 28797
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654502868652344 × 216)
    floor (0.654502868652344 × 65536)
    floor (42893.5)     		ty = 42893
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28797 / 42893 ti = "16/28797/42893"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28797/42893.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28797 ÷ 216
    28797 ÷ 65536     		x = 0.439407348632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42893 ÷ 216
    42893 ÷ 65536     		y = 0.654495239257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439407348632812 × 2 - 1) × π
    -0.121185302734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38071486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654495239257812 × 2 - 1) × π
    -0.308990478515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.970722217306137
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38071486} λ = -0.38071486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.970722217306137))-π/2
    2×atan(0.378809356613468)-π/2
    2×0.3621061904166-π/2
    0.7242123808332-1.57079632675     		φ = -0.84658395
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38071486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.813355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84658395 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.505687°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28797 KachelY 42893 -0.38071486 -0.84658395 -21.813355 -48.505687
    Oben rechts KachelX + 1 28798 KachelY 42893 -0.38061898 -0.84658395 -21.807861 -48.505687
    Unten links KachelX 28797 KachelY + 1 42894 -0.38071486 -0.84664746 -21.813355 -48.509326
    Unten rechts KachelX + 1 28798 KachelY + 1 42894 -0.38061898 -0.84664746 -21.807861 -48.509326
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84658395--0.84664746) × R
    6.35100000000444e-05 × 6371000     		dl = 404.622210000283m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84658395--0.84664746) × R
    6.35100000000444e-05 × 6371000     		dr = 404.622210000283m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38071486--0.38061898) × cos(-0.84658395) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.662545701522427 × 6371000     		do = 404.717022342582m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38071486--0.38061898) × cos(-0.84664746) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.662498129831394 × 6371000     		du = 404.687963104708m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84658395)-sin(-0.84664746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662545701522427-0.662498129831394)×R²
    abs(-0.38061898--0.38071486)×4.7571691032422e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.7571691032422e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.7571691032422e-05×40589641000000     		ar = 163751.617053611m²