Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28797 / 14832
↖ ↑ ↗
← N 69.687618°
W 21.813355°		 ← 212.05 m → N 69.687618°
W 21.807861°		 →
↑
212.03 m
↓
↑
212.03 m
↓
N 69.685712°
W 21.813355°		 ← 212.07 m →
44 962 m²		 N 69.685712°
W 21.807861°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28797 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14832 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439414978027344 y=0.226325988769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439414978027344 × 216)
    floor (0.439414978027344 × 65536)
    floor (28797.5)     		tx = 28797
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226325988769531 × 216)
    floor (0.226325988769531 × 65536)
    floor (14832.5)     		ty = 14832
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28797 / 14832 ti = "16/28797/14832"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28797/14832.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28797 ÷ 216
    28797 ÷ 65536     		x = 0.439407348632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14832 ÷ 216
    14832 ÷ 65536     		y = 0.226318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439407348632812 × 2 - 1) × π
    -0.121185302734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38071486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.226318359375 × 2 - 1) × π
    0.54736328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.71959246317065
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38071486} λ = -0.38071486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71959246317065))-π/2
    2×atan(5.58225302694608)-π/2
    2×1.39353735814361-π/2
    2.78707471628721-1.57079632675     		φ = 1.21627839
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38071486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.813355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21627839 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.687618°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28797 KachelY 14832 -0.38071486 1.21627839 -21.813355 69.687618
    Oben rechts KachelX + 1 28798 KachelY 14832 -0.38061898 1.21627839 -21.807861 69.687618
    Unten links KachelX 28797 KachelY + 1 14833 -0.38071486 1.21624511 -21.813355 69.685712
    Unten rechts KachelX + 1 28798 KachelY + 1 14833 -0.38061898 1.21624511 -21.807861 69.685712
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21627839-1.21624511) × R
    3.32800000000244e-05 × 6371000     		dl = 212.026880000155m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21627839-1.21624511) × R
    3.32800000000244e-05 × 6371000     		dr = 212.026880000155m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38071486--0.38061898) × cos(1.21627839) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.347138319994255 × 6371000     		do = 212.049956533188m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38071486--0.38061898) × cos(1.21624511) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.347169530249948 × 6371000     		du = 212.069021364069m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21627839)-sin(1.21624511))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347138319994255-0.347169530249948)×R²
    abs(-0.38061898--0.38071486)×3.12102556924709e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.12102556924709e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.12102556924709e-05×40589641000000     		ar = 44962.3118203607m²