Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28793 / 28819
↖ ↑ ↗
← N 70.478143°
W100.917663°		 ← 102.04 m → N 70.478143°
W100.914917°		 →
↑
102.06 m
↓
↑
102.06 m
↓
N 70.477225°
W100.917663°		 ← 102.05 m →
10 415 m²		 N 70.477225°
W100.914917°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28793 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28819 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.219676971435547 y=0.219875335693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.219676971435547 × 217)
    floor (0.219676971435547 × 131072)
    floor (28793.5)     		tx = 28793
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219875335693359 × 217)
    floor (0.219875335693359 × 131072)
    floor (28819.5)     		ty = 28819
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28793 / 28819 ti = "17/28793/28819"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28793/28819.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28793 ÷ 217
    28793 ÷ 131072     		x = 0.219673156738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28819 ÷ 217
    28819 ÷ 131072     		y = 0.219871520996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.219673156738281 × 2 - 1) × π
    -0.560653686523438 × 3.1415926535     		Λ = -1.76134550
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.219871520996094 × 2 - 1) × π
    0.560256958007812 × 3.1415926535     		Φ = 1.7600991433496
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76134550} λ = -1.76134550}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7600991433496))-π/2
    2×atan(5.81301368748256)-π/2
    2×1.40043598229834-π/2
    2.80087196459668-1.57079632675     		φ = 1.23007564
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76134550} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.917663°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23007564 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.478143°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28793 KachelY 28819 -1.76134550 1.23007564 -100.917663 70.478143
    Oben rechts KachelX + 1 28794 KachelY 28819 -1.76129757 1.23007564 -100.914917 70.478143
    Unten links KachelX 28793 KachelY + 1 28820 -1.76134550 1.23005962 -100.917663 70.477225
    Unten rechts KachelX + 1 28794 KachelY + 1 28820 -1.76129757 1.23005962 -100.914917 70.477225
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23007564-1.23005962) × R
    1.60199999998945e-05 × 6371000     		dl = 102.063419999328m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23007564-1.23005962) × R
    1.60199999998945e-05 × 6371000     		dr = 102.063419999328m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76134550--1.76129757) × cos(1.23007564) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.334166436315437 × 6371000     		do = 102.04174135121m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76134550--1.76129757) × cos(1.23005962) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.334181535348133 × 6371000     		du = 102.046352022485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23007564)-sin(1.23005962))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334166436315437-0.334181535348133)×R²
    abs(-1.76129757--1.76134550)×1.50990326961975e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.50990326961975e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.50990326961975e-05×40589641000000     		ar = 10414.9643955579m²