Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28792 / 22093
↖ ↑ ↗
← N 50.467994°
W 21.840821°		 ← 388.81 m → N 50.467994°
W 21.835327°		 →
↑
388.82 m
↓
↑
388.82 m
↓
N 50.464498°
W 21.840821°		 ← 388.84 m →
151 185 m²		 N 50.464498°
W 21.835327°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22093 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439338684082031 y=0.337120056152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439338684082031 × 216)
    floor (0.439338684082031 × 65536)
    floor (28792.5)     		tx = 28792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337120056152344 × 216)
    floor (0.337120056152344 × 65536)
    floor (22093.5)     		ty = 22093
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28792 / 22093 ti = "16/28792/22093"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28792/22093.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28792 ÷ 216
    28792 ÷ 65536     		x = 0.4393310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22093 ÷ 216
    22093 ÷ 65536     		y = 0.337112426757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4393310546875 × 2 - 1) × π
    -0.121337890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38119423
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337112426757812 × 2 - 1) × π
    0.325775146484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.0234528068882
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38119423} λ = -0.38119423}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0234528068882))-π/2
    2×atan(2.78278661983123)-π/2
    2×1.22581449911451-π/2
    2.45162899822902-1.57079632675     		φ = 0.88083267
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38119423} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.840821°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88083267 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.467994°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28792 KachelY 22093 -0.38119423 0.88083267 -21.840821 50.467994
    Oben rechts KachelX + 1 28793 KachelY 22093 -0.38109835 0.88083267 -21.835327 50.467994
    Unten links KachelX 28792 KachelY + 1 22094 -0.38119423 0.88077164 -21.840821 50.464498
    Unten rechts KachelX + 1 28793 KachelY + 1 22094 -0.38109835 0.88077164 -21.835327 50.464498
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88083267-0.88077164) × R
    6.10300000000175e-05 × 6371000     		dl = 388.822130000111m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88083267-0.88077164) × R
    6.10300000000175e-05 × 6371000     		dr = 388.822130000111m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38119423--0.38109835) × cos(0.88083267) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.636509152249488 × 6371000     		do = 388.81255768534m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38119423--0.38109835) × cos(0.88077164) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.636556221620188 × 6371000     		du = 388.841310080095m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88083267)-sin(0.88077164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.636509152249488-0.636556221620188)×R²
    abs(-0.38109835--0.38119423)×4.70693707005365e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.70693707005365e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.70693707005365e-05×40589641000000     		ar = 151184.516680594m²