Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28792 / 14824
↖ ↑ ↗
← N 69.702868°
W 21.840821°		 ← 211.90 m → N 69.702868°
W 21.835327°		 →
↑
211.90 m
↓
↑
211.90 m
↓
N 69.700963°
W 21.840821°		 ← 211.92 m →
44 903 m²		 N 69.700963°
W 21.835327°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439338684082031 y=0.226203918457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439338684082031 × 216)
    floor (0.439338684082031 × 65536)
    floor (28792.5)     		tx = 28792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226203918457031 × 216)
    floor (0.226203918457031 × 65536)
    floor (14824.5)     		ty = 14824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28792 / 14824 ti = "16/28792/14824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28792/14824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28792 ÷ 216
    28792 ÷ 65536     		x = 0.4393310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14824 ÷ 216
    14824 ÷ 65536     		y = 0.2261962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4393310546875 × 2 - 1) × π
    -0.121337890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38119423
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2261962890625 × 2 - 1) × π
    0.547607421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.72035945356458
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38119423} λ = -0.38119423}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72035945356458))-π/2
    2×atan(5.58653620376195)-π/2
    2×1.39367043615375-π/2
    2.7873408723075-1.57079632675     		φ = 1.21654455
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38119423} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.840821°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21654455 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.702868°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28792 KachelY 14824 -0.38119423 1.21654455 -21.840821 69.702868
    Oben rechts KachelX + 1 28793 KachelY 14824 -0.38109835 1.21654455 -21.835327 69.702868
    Unten links KachelX 28792 KachelY + 1 14825 -0.38119423 1.21651129 -21.840821 69.700963
    Unten rechts KachelX + 1 28793 KachelY + 1 14825 -0.38109835 1.21651129 -21.835327 69.700963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21654455-1.21651129) × R
    3.3260000000146e-05 × 6371000     		dl = 211.89946000093m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21654455-1.21651129) × R
    3.3260000000146e-05 × 6371000     		dr = 211.89946000093m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38119423--0.38109835) × cos(1.21654455) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.34688869914299 × 6371000     		do = 211.897475266877m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38119423--0.38109835) × cos(1.21651129) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.346919893714703 × 6371000     		du = 211.916530517176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21654455)-sin(1.21651129))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34688869914299-0.346919893714703)×R²
    abs(-0.38109835--0.38119423)×3.11945717135775e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.11945717135775e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.11945717135775e-05×40589641000000     		ar = 44902.9794874202m²