Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28791 / 43749
↖ ↑ ↗
← S 51.525834°
W 21.846314°		 ← 380.01 m → S 51.525834°
W 21.840821°		 →
↑
380.03 m
↓
↑
380.03 m
↓
S 51.529252°
W 21.846314°		 ← 379.98 m →
144 409 m²		 S 51.529252°
W 21.840821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28791 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43749 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439323425292969 y=0.667564392089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439323425292969 × 216)
    floor (0.439323425292969 × 65536)
    floor (28791.5)     		tx = 28791
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667564392089844 × 216)
    floor (0.667564392089844 × 65536)
    floor (43749.5)     		ty = 43749
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28791 / 43749 ti = "16/28791/43749"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28791/43749.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28791 ÷ 216
    28791 ÷ 65536     		x = 0.439315795898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43749 ÷ 216
    43749 ÷ 65536     		y = 0.667556762695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439315795898438 × 2 - 1) × π
    -0.121368408203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38129010
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.667556762695312 × 2 - 1) × π
    -0.335113525390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.05279018945567
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38129010} λ = -0.38129010}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05279018945567))-π/2
    2×atan(0.348962717387625)-π/2
    2×0.335750438172896-π/2
    0.671500876345792-1.57079632675     		φ = -0.89929545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38129010} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.846314°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89929545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.525834°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28791 KachelY 43749 -0.38129010 -0.89929545 -21.846314 -51.525834
    Oben rechts KachelX + 1 28792 KachelY 43749 -0.38119423 -0.89929545 -21.840821 -51.525834
    Unten links KachelX 28791 KachelY + 1 43750 -0.38129010 -0.89935510 -21.846314 -51.529252
    Unten rechts KachelX + 1 28792 KachelY + 1 43750 -0.38119423 -0.89935510 -21.840821 -51.529252
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89929545--0.89935510) × R
    5.96499999999667e-05 × 6371000     		dl = 380.030149999788m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89929545--0.89935510) × R
    5.96499999999667e-05 × 6371000     		dr = 380.030149999788m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38129010--0.38119423) × cos(-0.89929545) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.622161706918485 × 6371000     		do = 380.008761548127m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38129010--0.38119423) × cos(-0.89935510) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.622115006497119 × 6371000     		du = 379.980237501902m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89929545)-sin(-0.89935510))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.622161706918485-0.622115006497119)×R²
    abs(-0.38119423--0.38129010)×4.67004213666744e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.67004213666744e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.67004213666744e-05×40589641000000     		ar = 144409.366696416m²