Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28791 / 22089
↖ ↑ ↗
← N 50.481978°
W 21.846314°		 ← 388.66 m → N 50.481978°
W 21.840821°		 →
↑
388.69 m
↓
↑
388.69 m
↓
N 50.478482°
W 21.846314°		 ← 388.69 m →
151 075 m²		 N 50.478482°
W 21.840821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28791 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22089 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439323425292969 y=0.337059020996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439323425292969 × 216)
    floor (0.439323425292969 × 65536)
    floor (28791.5)     		tx = 28791
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337059020996094 × 216)
    floor (0.337059020996094 × 65536)
    floor (22089.5)     		ty = 22089
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28791 / 22089 ti = "16/28791/22089"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28791/22089.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28791 ÷ 216
    28791 ÷ 65536     		x = 0.439315795898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22089 ÷ 216
    22089 ÷ 65536     		y = 0.337051391601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439315795898438 × 2 - 1) × π
    -0.121368408203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38129010
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337051391601562 × 2 - 1) × π
    0.325897216796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.02383630208516
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38129010} λ = -0.38129010}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02383630208516))-π/2
    2×atan(2.78385400979048)-π/2
    2×1.2259365301665-π/2
    2.451873060333-1.57079632675     		φ = 0.88107673
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38129010} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.846314°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88107673 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.481978°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28791 KachelY 22089 -0.38129010 0.88107673 -21.846314 50.481978
    Oben rechts KachelX + 1 28792 KachelY 22089 -0.38119423 0.88107673 -21.840821 50.481978
    Unten links KachelX 28791 KachelY + 1 22090 -0.38129010 0.88101572 -21.846314 50.478482
    Unten rechts KachelX + 1 28792 KachelY + 1 22090 -0.38119423 0.88101572 -21.840821 50.478482
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88107673-0.88101572) × R
    6.1010000000028e-05 × 6371000     		dl = 388.694710000178m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88107673-0.88101572) × R
    6.1010000000028e-05 × 6371000     		dr = 388.694710000178m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38129010--0.38119423) × cos(0.88107673) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.636320897346101 × 6371000     		do = 388.657021894415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38129010--0.38119423) × cos(0.88101572) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.63636796076883 × 6371000     		du = 388.685767657432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88107673)-sin(0.88101572))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.636320897346101-0.63636796076883)×R²
    abs(-0.38119423--0.38129010)×4.70634227285327e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.70634227285327e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.70634227285327e-05×40589641000000     		ar = 151074.515124496m²